Q10: Considere a sequência formada pela lei de recorrência x_{n+2}=-3 x_{n}+\frac{76}{5} x_{n+1}, \quad n=1,2,3, \ldots. Se x_{1}=20, para que valor de x_{2} temos \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0 ?
Dica: defina \vec{v}_{n}=\left[\begin{array}{c}x_{n} \\\ x_{n+1}\end{array}\right] e note que
\vec{v}_{n+1}=\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\\\ -3 & 76 / 5 \end{array}\right] \vec{v}_{n} \quad \text { para } n=1,2,3, \ldots
Portanto \vec{v}_{n+1}=\left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\\\ -3 & 76 / 5\end{array}\right]^{n} \vec{v}_{1}.
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9

Passo 1

O enunciado dá a sequência por recorrência
x_{n+2}=-3x_{n}+\frac{76}{5}x_{n+1},\qquad n=1,2,3,\ldots
e informa que x_{1}=20. Pergunta: para qual valor de x_{2} temos
\lim_{n\to\infty} x_{n}=0\; ?
Também é dada a dica matricial: definimos
\vec{v}_{n}=\begin{pmatrix}x_{n}\\[4pt] x_{n+1}\end{pmatrix}
e a relação
\vec{v}_{n+1}=A\vec{v}_{n}\quad\text{com}\quad A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-3 & 76/5\end{pmatrix}.
Anotei: queremos o valor de x_{2} (com x_{1}=20) tal que a componente escalar de \vec{v}_{n} (isto é, x_{n}) tenda a zero quando n\to\infty.]

Passo 2

Vamos entender o efeito da matriz A nas iterações. Pela dica,
\vec{v}_{n+1}=A^{n}\vec{v}_{1},
onde \vec{v}_{1}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt] x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\[4pt] x_{2}\end{pmatrix}.
Para estudar \lim_{n\to\infty}\vec{v}_{n} é útil diagonalizar A (quando possível) e olhar as potências das autovalores: componentes associadas a autovalores com módulo maior que 1 explodem, com módulo menor que 1 vão para zero. Assim precisamos achar os autovalores de A.]

Passo 3

Calculo do polinômio característico de A. Temos
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt]-3 & 76/5-\lambda\end{pmatrix} =\lambda^{2}-\frac{76}{5}\lambda+3.
As raízes deste polinômio são os autovalores. Resolvendo a quadrática
\lambda=\frac{\tfrac{76}{5}\pm\sqrt{\left(\tfrac{76}{5}\right)^{2}-4\cdot 1\cdot 3}}{2}.
Agora a conta sob a raiz:
\left(\tfrac{76}{5}\right)^{2}-12=\frac{5776}{25}-\frac{300}{25}=\frac{5476}{25}=\left(\frac{74}{5}\right)^{2}.
Logo a raiz quadrada é \tfrac{74}{5} e
\lambda=\frac{\tfrac{76}{5}\pm\tfrac{74}{5}}{2}=\frac{\tfrac{76\pm74}{5}}{2}=\frac{76\pm74}{10}.
Portanto os autovalores são
\lambda_{1}= \frac{76+74}{10}= \frac{150}{10}=15, \qquad \lambda_{2}= \frac{76-74}{10}= \frac{2}{10}= \frac{1}{5}.
Observação importante (didática): um autovalor 15 tem módulo |15|>1 e o outro \tfrac{1}{5} tem módulo \left|\tfrac{1}{5}\right|<1. Isso significa que, na decomposição inicial em autovetores, a componente associada a 15 tende a explodir (se for não nula) e a associada a \tfrac{1}{5} tende a zero.]

Passo 4

Calculo dos autovetores (útil para ver em que direção inicial deve estar). Para \lambda=\tfrac{1}{5} resolvemos (A-\tfrac{1}{5}I)\vec{v}=0:
\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{5} & 1\\[4pt]-3 & \tfrac{76}{5}-\tfrac{1}{5}\end{pmatrix} \vec{v}= \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{5} & 1\\[4pt]-3 & 15\end{pmatrix}\vec{v}=0.
Da primeira linha vem -\tfrac{1}{5}a+b=0, então b=\tfrac{1}{5}a. Portanto um autovetor correspondente é, por exemplo,
\vec{u}_{2}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]1\end{pmatrix},
pois para a=5 obtemos b=1.
Para \lambda=15 resolvemos (A-15I)\vec{v}=0:
\begin{pmatrix}-15 & 1\\[4pt]-3 & \tfrac{76}{5}-15\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-15 & 1\\[4pt]-3 & \tfrac{1}{5}\end{pmatrix},
da primeira linha -15a+b=0 vem b=15a. Um autovetor correspondente é, por exemplo,
\vec{u}_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]15\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora a ideia chave: escrever a condição para \lim_{n\to\infty}\vec{v}_{n}=\vec{0}.
Como \{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2}\} formam uma base (autovalores distintos), podemos escrever
\vec{v}_{1}=\alpha\vec{u}_{1}+\beta\vec{u}_{2}.
Então
\vec{v}_{n+1}=A^{n}\vec{v}_{1}=\alpha 15^{n}\vec{u}_{1}+\beta\left(\tfrac{1}{5}\right)^{n}\vec{u}_{2}.
Quando n\to\infty o termo com 15^{n} diverge a menos que \alpha=0. Para que a sequência inteira tenda a zero precisamos exatamente que a componente associada ao autovalor 15 seja zero, i.e., \alpha=0. Em outras palavras, \vec{v}_{1} deve ser múltiplo do autovetor de \tfrac{1}{5}, isto é, deve estar na direção de \vec{u}_{2}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Impondo \vec{v}_{1}=c\begin{pmatrix}5\\[4pt]1\end{pmatrix} e lembrando que \vec{v}_{1}=\begin{pmatrix}20\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}, obtemos
20=c\cdot 5 \quad\Rightarrow\quad c=4.
Então
x_{2}=c\cdot 1=4.
Verificação intuitiva: com x_{2}=4 temos \vec{v}_{1}=4\begin{pmatrix}5\\[4pt]1\end{pmatrix}, isto é, nenhuma componente na direção do autovetor associado a 15; portanto o único termo que sobra é múltiplo de \left(\tfrac{1}{5}\right)^{n}, que tende a zero, garantindo \lim_{n\to\infty}x_{n}=0.]

Resposta

(C) 4

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