Q10: Considere a sequência formada pela lei de recorrência x_{n+2}=-3 x_{n}+\frac{76}{5} x_{n+1}, \quad n=1,2,3, \ldots. Se x_{1}=20, para que valor de x_{2} temos \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0 ?
Dica: defina \vec{v}_{n}=\left[\begin{array}{c}x_{n} \\\ x_{n+1}\end{array}\right] e note que
Anotei: queremos o valor de x_{2} (com x_{1}=20) tal que a componente escalar de \vec{v}_{n} (isto é, x_{n}) tenda a zero quando n\to\infty.]
Passo 2
Vamos entender o efeito da matriz A nas iterações. Pela dica,
\vec{v}_{n+1}=A^{n}\vec{v}_{1},
onde \vec{v}_{1}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt] x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\[4pt] x_{2}\end{pmatrix}.
Para estudar \lim_{n\to\infty}\vec{v}_{n} é útil diagonalizar A (quando possível) e olhar as potências das autovalores: componentes associadas a autovalores com módulo maior que 1 explodem, com módulo menor que 1 vão para zero. Assim precisamos achar os autovalores de A.]
Observação importante (didática): um autovalor 15 tem módulo |15|>1 e o outro \tfrac{1}{5} tem módulo \left|\tfrac{1}{5}\right|<1. Isso significa que, na decomposição inicial em autovetores, a componente associada a 15 tende a explodir (se for não nula) e a associada a \tfrac{1}{5} tende a zero.]
Passo 4
Calculo dos autovetores (útil para ver em que direção inicial deve estar). Para \lambda=\tfrac{1}{5} resolvemos (A-\tfrac{1}{5}I)\vec{v}=0:
Agora a ideia chave: escrever a condição para \lim_{n\to\infty}\vec{v}_{n}=\vec{0}.
Como \{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2}\} formam uma base (autovalores distintos), podemos escrever
Quando n\to\infty o termo com 15^{n} diverge a menos que \alpha=0. Para que a sequência inteira tenda a zero precisamos exatamente que a componente associada ao autovalor 15 seja zero, i.e., \alpha=0. Em outras palavras, \vec{v}_{1} deve ser múltiplo do autovetor de \tfrac{1}{5}, isto é, deve estar na direção de \vec{u}_{2}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]1\end{pmatrix}.]
Passo 6
Impondo \vec{v}_{1}=c\begin{pmatrix}5\\[4pt]1\end{pmatrix} e lembrando que \vec{v}_{1}=\begin{pmatrix}20\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}, obtemos
20=c\cdot 5 \quad\Rightarrow\quad c=4.
Então
x_{2}=c\cdot 1=4.
Verificação intuitiva: com x_{2}=4 temos \vec{v}_{1}=4\begin{pmatrix}5\\[4pt]1\end{pmatrix}, isto é, nenhuma componente na direção do autovetor associado a 15; portanto o único termo que sobra é múltiplo de \left(\tfrac{1}{5}\right)^{n}, que tende a zero, garantindo \lim_{n\to\infty}x_{n}=0.]