Q12. Nos seguintes exercícios verificar que as y_{1} dadas são soluções das equações dadas e encontre uma solução linearmente independentes com \mathfrak{y}_{1}.
(g) x y^{\prime \prime}+(2 x-1) y^{\prime}-2 y=0 ; \quad(x>0) ; \quad y_{1}(x)=e^{-2 x}.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
x\,y''+(2x-1)\,y'-2y=0,\qquad (x>0),
e fornece a função \;y_{1}(x)=e^{-2x}\;. O que se pede:
Verificar que \;y_{1}(x)=e^{-2x}\; é solução da equação.
Encontrar outra solução y_{2}(x) linearmente independente de \;y_{1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A equação é homogênea e linear de segunda ordem com coeficientes dependentes de x.
O domínio é x>0.
Uma solução conhecida é \;y_{1}(x)=e^{-2x}.
Passo 2
Verificação direta de que \;y_{1}(x)=e^{-2x}\; satisfaz a equação. Primeiro calcule as derivadas:
Logo \;y_{1}(x)=e^{-2x}\; é realmente solução da equação no domínio x>0.
Passo 3
Estratégia para achar uma segunda solução linearmente independente: usar o método da redução de ordem. A ideia básica:
Para uma equação linear homogênea de segunda ordem, se y_{1} é uma solução conhecida, procuramos uma segunda solução na forma \;y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x), onde v é uma função a determinar.
Ao substituir y_{2}=v y_{1} na equação e usar que y_{1} satisfaz a equação, os termos com v (não derivado) se cancelam, sobrando uma equação de primeira ordem para v'.
Uma fórmula prática que resulta desse procedimento é
Podemos multiplicar y_{2} por qualquer constante não nula (isso mantém ser solução e independência linear). Para ficar mais simples, multiplicamos por 2 e tomamos como segunda solução
y_{2}(x)=x-\tfrac{1}{2}.
Verificação rápida da independência linear usando o Wronskiano:
Como x>0 e e^{-2x}\neq 0, tem-se W(y_{1},y_{2})(x)=2x e^{-2x}\neq 0 para x>0. Portanto y_{1} e y_{2} são linearmente independentes no domínio dado.]
Passo 7
Resumo final e observação prática: uma base de soluções da equação no intervalo x>0 é dada por \{\,e^{-2x},\;x-\tfrac{1}{2}\,\}. Assim a solução geral é