Q12. Nos seguintes exercícios verificar que as y_{1} dadas são soluções das equações dadas e encontre uma solução linearmente independentes com \mathfrak{y}_{1}.
(f) x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+\left(x^{2}+2\right) y=0 ; \quad(x>0) ; \quad y_{1}(x)=x \operatorname{sen} x.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se verificar que \mathfrak{y}_{1}(x)=x\operatorname{sen} x é solução da equação diferencial
x^{2}y''-2xy'+(x^{2}+2)y=0,\qquad (x>0),
e encontrar uma segunda solução linearmente independente de \mathfrak{y}_{1}.
  • Informação dada: a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes dependentes de x e uma solução conhecida \mathfrak{y}_{1}(x)=x\operatorname{sen} x.

Passo 2

Verificar que \mathfrak{y}_{1}(x)=x\operatorname{sen} x satisfaz a equação (calcular derivadas e substituir).
Calcular as derivadas de \mathfrak{y}_{1}:
\mathfrak{y}_{1}(x)=x\operatorname{sen} x,
\mathfrak{y}_{1}'(x)=\operatorname{sen} x + x\cos x,
\mathfrak{y}_{1}''(x)=\cos x + \cos x - x\operatorname{sen} x = 2\cos x - x\operatorname{sen} x.
Agora substituir na expressão da equação:
x^{2}\mathfrak{y}_{1}''-2x\mathfrak{y}_{1}'+(x^{2}+2)\mathfrak{y}_{1}.
Calcular termo a termo:
x^{2}\mathfrak{y}_{1}''=x^{2}(2\cos x - x\operatorname{sen} x)=2x^{2}\cos x - x^{3}\operatorname{sen} x,
-2x\mathfrak{y}_{1}'=-2x(\operatorname{sen} x + x\cos x)=-2x\operatorname{sen} x -2x^{2}\cos x,
(x^{2}+2)\mathfrak{y}_{1}=(x^{2}+2)(x\operatorname{sen} x)=x^{3}\operatorname{sen} x + 2x\operatorname{sen} x.
Somando:
(2x^{2}\cos x - x^{3}\operatorname{sen} x)+(-2x\operatorname{sen} x -2x^{2}\cos x)+(x^{3}\operatorname{sen} x + 2x\operatorname{sen} x)=0.
Portanto a soma é zero, logo \mathfrak{y}_{1}(x)=x\operatorname{sen} x é de fato solução da equação para x>0.

Passo 3

Plano para encontrar uma segunda solução linearmente independente: método da redução de ordem (ou fórmula direta).
Explicação rápida do método (ideia): para uma equação linear homogênea de segunda ordem escrita na forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=0,
seja dada uma solução conhecida y_{1}(x). Procuramos y_{2}(x)=v(x)y_{1}(x) com v desconhecida. Inserindo y_{2} na equação e usando que y_{1} satisfaz a equação, obtém-se uma equação de primeira ordem para v'. Existe também uma fórmula pronta equivalente:
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int p(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx,
onde p(x) é o coeficiente de y' na forma padrão. Vou usar essa fórmula porque é direta e do jeitinho que se aplica aqui.

Passo 4

Colocar a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0 (dividir por x^{2}, válido porque x>0):
Dividindo por x^{2},
y''-\frac{2}{x}y'+\left(1+\frac{2}{x^{2}}\right)y=0.
Logo
p(x)=-\frac{2}{x}.
Calcular e^{-\int p(x)\,dx}:
-\int p(x)\,dx=-\int \left(-\frac{2}{x}\right)dx=\int \frac{2}{x}\,dx=2\ln x=\ln x^{2},
portanto
e^{-\int p(x)\,dx}=e^{\ln x^{2}}=x^{2}\qquad (x>0).
Aplicar a fórmula para y_{2}:
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int p}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx = y_{1}(x)\int \frac{x^{2}}{(x\operatorname{sen} x)^{2}}\,dx.

Passo 5

Calcular integral e obter y_{2}.
Simplificar o integrando:
\frac{x^{2}}{(x\operatorname{sen} x)^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}\operatorname{sen}^{2}x}=\csc^{2}x.
Integrar:
\int \csc^{2}x\,dx=-\cot x + C.
Tomando uma primitiva (podemos desprezar a constante multiplicativa dentro de y_{2}, pois qualquer múltiplo não muda a independência), obtemos
y_{2}(x)=y_{1}(x)\cdot(-\cot x)= -x\operatorname{sen} x\cot x.
Usando \cot x=\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}, simplifica-se:
y_{2}(x)=-x\operatorname{sen} x\cdot\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}=-x\cos x.
Como multiplicar por -1 não altera a independência linear, uma escolha conveniente é
y_{2}(x)=x\cos x.

Passo 6

Verificar rapidamente que \{ \mathfrak{y}_{1}, \mathfrak{y}_{2}\}=\{x\operatorname{sen} x,\; x\cos x\} são independentes: calcular o Wronskiano.
Calcular derivadas:
\mathfrak{y}_{1}=x\operatorname{sen} x,\qquad \mathfrak{y}_{1}'=\operatorname{sen} x + x\cos x,
\mathfrak{y}_{2}=x\cos x,\qquad \mathfrak{y}_{2}'=\cos x - x\operatorname{sen} x.
O Wronskiano é
W(x)= \begin{vmatrix} \mathfrak{y}_{1} & \mathfrak{y}_{2}\\[4pt] \mathfrak{y}_{1}' & \mathfrak{y}_{2}' \end{vmatrix} = \mathfrak{y}_{1}\mathfrak{y}_{2}'-\mathfrak{y}_{1}'\mathfrak{y}_{2}.
Substituindo:
W(x)= (x\operatorname{sen} x)(\cos x - x\operatorname{sen} x) - (\operatorname{sen} x + x\cos x)(x\cos x).
Expandindo e simplificando:
W(x)=x\operatorname{sen} x\cos x - x^{2}\operatorname{sen}^{2}x - x\operatorname{sen} x\cos x - x^{2}\cos^{2}x = -x^{2}(\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x)=-x^{2}.
Como x>0, tem-se W(x)=-x^{2}\neq 0. Logo as soluções são linearmente independentes.]

Resposta

y_{2}(x)=x\cos x

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