Q12. Nos seguintes exercícios verificar que as y_{1} dadas são soluções das equações dadas e encontre uma solução linearmente independentes com \mathfrak{y}_{1}.
(f) x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+\left(x^{2}+2\right) y=0 ; \quad(x>0) ; \quad y_{1}(x)=x \operatorname{sen} x.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
Pede-se verificar que \mathfrak{y}_{1}(x)=x\operatorname{sen} x é solução da equação diferencial
x^{2}y''-2xy'+(x^{2}+2)y=0,\qquad (x>0),
e encontrar uma segunda solução linearmente independente de \mathfrak{y}_{1}.
Informação dada: a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes dependentes de x e uma solução conhecida \mathfrak{y}_{1}(x)=x\operatorname{sen} x.
Passo 2
Verificar que \mathfrak{y}_{1}(x)=x\operatorname{sen} x satisfaz a equação (calcular derivadas e substituir).
Calcular as derivadas de \mathfrak{y}_{1}:
\mathfrak{y}_{1}(x)=x\operatorname{sen} x,
\mathfrak{y}_{1}'(x)=\operatorname{sen} x + x\cos x,
\mathfrak{y}_{1}''(x)=\cos x + \cos x - x\operatorname{sen} x = 2\cos x - x\operatorname{sen} x.
x^{2}\mathfrak{y}_{1}''=x^{2}(2\cos x - x\operatorname{sen} x)=2x^{2}\cos x - x^{3}\operatorname{sen} x,
-2x\mathfrak{y}_{1}'=-2x(\operatorname{sen} x + x\cos x)=-2x\operatorname{sen} x -2x^{2}\cos x,
(x^{2}+2)\mathfrak{y}_{1}=(x^{2}+2)(x\operatorname{sen} x)=x^{3}\operatorname{sen} x + 2x\operatorname{sen} x.
Somando:
(2x^{2}\cos x - x^{3}\operatorname{sen} x)+(-2x\operatorname{sen} x -2x^{2}\cos x)+(x^{3}\operatorname{sen} x + 2x\operatorname{sen} x)=0.
Portanto a soma é zero, logo \mathfrak{y}_{1}(x)=x\operatorname{sen} x é de fato solução da equação para x>0.
Passo 3
Plano para encontrar uma segunda solução linearmente independente: método da redução de ordem (ou fórmula direta).
Explicação rápida do método (ideia): para uma equação linear homogênea de segunda ordem escrita na forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=0,
seja dada uma solução conhecida y_{1}(x). Procuramos y_{2}(x)=v(x)y_{1}(x) com v desconhecida. Inserindo y_{2} na equação e usando que y_{1} satisfaz a equação, obtém-se uma equação de primeira ordem para v'. Existe também uma fórmula pronta equivalente: