Q12: Sejam \vec{v}=(-4,-3,10,5) e
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-3 y+2 z+w=0\right\}
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6

Passo 1

O enunciado dá:
\vec{v}=(-4,-3,10,5)
e o subespaço
H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-3y+2z+w=0\}.
Pede-se calcular \vec{w}=P_{H}\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e indicar o valor da 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w} (ou seja, w_{3}).

Passo 2

Observação útil (dica do enunciado): o hiperplano H é dado por uma equação linear, então tem um vetor normal \vec{n} cujas componentes são os coeficientes da equação. Aqui podemos ler da equação x-3y+2z+w=0 que
\vec{n}=(1,-3,2,1).
Esse vetor \vec{n} pertence a H^{\perp} (é ortogonal a todo vetor de H). Projetar em H é equivalente a tirar de \vec{v} a componente na direção de \vec{n}: \vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}. Fazer a projeção em H^{\perp} (ou seja, calcular \operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}) costuma ser mais direto porque \vec{n} tem dimensão 1.

Passo 3

Fórmula da projeção de \vec{v} sobre a direção do vetor \vec{n}:
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\;\vec{n}.
Explicando: \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto escalar entre \vec{v} e \vec{n}, e \vec{n}\cdot\vec{n}=\|\vec{n}\|^{2} é o quadrado da norma de \vec{n}. Depois de obter \operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v} subtraímos de \vec{v} para ter a projeção ortogonal em H:
\vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}.

Passo 4

Calculemos o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{n}. Usamos a definição do produto escalar em \mathbb{R}^{4}: se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3,a_4) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3,b_4) então \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+a_4b_4. Aplicando:
\vec{v}\cdot\vec{n}=(-4)\cdot 1 + (-3)\cdot(-3) + 10\cdot 2 + 5\cdot 1.
Agora as contas, passo a passo:
(-4)\cdot 1 = -4,
(-3)\cdot(-3) = 9,
10\cdot 2 = 20,
5\cdot 1 = 5.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{n}=-4+9+20+5=30.

Passo 5

Calculemos \vec{n}\cdot\vec{n}=\|\vec{n}\|^{2}:
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^{2}+(-3)^{2}+2^{2}+1^{2}=1+9+4+1=15.
Portanto o escalar da projeção é
\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}=\frac{30}{15}=2.
Logo
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=2\,\vec{n}=2\,(1,-3,2,1)=(2,-6,4,2).

Passo 6

Agora subtraímos essa componente de \vec{v} para obter a projeção em H:
\vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=(-4,-3,10,5)-(2,-6,4,2).
Fazendo a subtração componente a componente:
w_{1}=-4-2=-6,
w_{2}=-3-(-6)=-3+6=3,
w_{3}=10-4=6,
w_{4}=5-2=3.
Portanto
\vec{w}=(-6,3,6,3).

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): \vec{w} deve satisfazer a equação de H. Calculamos
w_{1}-3w_{2}+2w_{3}+w_{4}=-6-3\cdot 3+2\cdot 6+3=-6-9+12+3=0,
confirmando que \vec{w}\in H.

Passo 8

Concluímos que a terceira entrada de \vec{w} é w_{3}=6. Entre as alternativas dadas, corresponde à letra (F).

Resposta

(F) 6

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