Q12: Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
Passo 1
O enunciado dá:
e o subespaço
Pede-se calcular
, a projeção ortogonal de
sobre
, e indicar o valor da
entrada de
(ou seja,
).
Passo 2
Observação útil (dica do enunciado): o hiperplano
é dado por uma equação linear, então tem um vetor normal
cujas componentes são os coeficientes da equação. Aqui podemos ler da equação
que
Esse vetor
pertence a
(é ortogonal a todo vetor de
). Projetar em
é equivalente a tirar de
a componente na direção de
:
. Fazer a projeção em
(ou seja, calcular
) costuma ser mais direto porque
tem dimensão 1.
Passo 3
Fórmula da projeção de
sobre a direção do vetor
:
Explicando:
é o produto escalar entre
e
, e
é o quadrado da norma de
. Depois de obter
subtraímos de
para ter a projeção ortogonal em
:
Passo 4
Calculemos o produto escalar
. Usamos a definição do produto escalar em
: se
e
então
. Aplicando:
Agora as contas, passo a passo:
Somando:
Passo 5
Calculemos
:
Portanto o escalar da projeção é
Logo
Passo 6
Agora subtraímos essa componente de
para obter a projeção em
:
Fazendo a subtração componente a componente:
Portanto
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas boa prática):
deve satisfazer a equação de
. Calculamos
confirmando que
.
Passo 8
Concluímos que a terceira entrada de
é
. Entre as alternativas dadas, corresponde à letra (F).
Resposta
(F)