Q13.15 Por que um cão com patas curtas (como o da raça chihuahua) caminha com passos mais velozes que um cão com patas longas (como o dogue alemão)?

Passo 1

O enunciado diz que um cão de patas curtas (ex.: chihuahua) caminha com passos mais velozes que um cão de patas longas (ex.: dogue alemão). Pergunta: por que isso acontece?
Informações relevantes e o que o problema pede:
  • Observação: cães com patas curtas fazem passos mais velozes (ou seja, têm maior cadência, maior número de passos por unidade de tempo) que cães com patas longas.
  • O objetivo é explicar a razão física dessa diferença de cadência, usando conceitos e fórmulas.
  • Nenhum número específico foi dado no enunciado; a explicação deve ser qualitativa e apoiada por relação matemática simples.

Passo 2

Definir precisamente o que significa “passos mais velozes”.
  • “Passos mais velozes” aqui vou interpretar como maior frequência de passos (cadência), isto é, mais passos por segundo.
  • Denoto por \,f\, a frequência de passos (passos por segundo).
  • Denoto por \,L\, o comprimento característico da perna (ou “altura do pivô” do balanço da perna), medido em metros.
  • O que queremos explicar é por que \,f\, é maior quando \,L\, é menor.

Passo 3

Ideia física básica: a perna que balança durante a marcha se comporta, em primeira aproximação, como um pêndulo. Vou explicar por que essa aproximação faz sentido.
  • Quando uma perna avança numa passada, ela descreve um movimento de vai-e-vem em torno da articulação do quadril (ou do ombro, dependendo da perna). Esse movimento é parecido com o oscilador de uma haste presa, ou idealmente com um pêndulo simples.
  • Para pequenas oscilações e para o movimento de balanço (não para saltos ou corrida), a dinâmica é dominada pela gravidade que “puxa” a perna de volta, e pela inércia da perna. Isso é análogo ao pêndulo simples.
  • Portanto, a frequência natural com que a perna pode oscilar sem grande esforço muscular está relacionada ao comprimento \,L\, da perna e à gravidade \,g\,.

Passo 4

Apresentar e derivar a fórmula do período do pêndulo simples (passo por passo, didático).
  • Para um pêndulo simples de comprimento \,L\, sujeito à gravidade \,g\,, para pequenas oscilações a equação angular é
\theta''(t) + \frac{g}{L}\,\theta(t) = 0,
onde \theta(t) é o deslocamento angular e \theta'' é a segunda derivada temporal (aceleração angular).
  • Essa é uma equação harmônica simples cuja solução tem frequência angular \omega dada por
\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}.
  • O período (tempo de uma oscilação completa) é
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
  • Explicando cada símbolo:
    • \,T\, é o período, em segundos (tempo de uma oscilação completa);
    • \,L\, é o comprimento do pêndulo (aqui: comprimento efetivo da perna), em metros;
    • \,g\, é a aceleração da gravidade, em metros por segundo ao quadrado ( g\approx 9,8\\ \text{m/s}^2);
    • \,\pi\, é a constante matemática (aprox. 3{,}1416).

Passo 5

Relacionar frequência de passos \,f\, com o período \,T\, e obter dependência com \,L\,.
  • A frequência é o inverso do período:
f = \frac{1}{T}.
  • Substituindo a expressão de \,T\, temos
f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}.
  • Conclusão direta desta fórmula: a frequência natural de oscilação (e portanto a cadência de passos que é energeticamente conveniente) escala como
f \propto \frac{1}{\sqrt{L}}.
  • Interpretação simples: quanto menor \,L\, (perna mais curta), maior é \,f\, (mais passos por segundo).

Passo 6

Por que os animais realmente caminham perto dessa frequência natural?
  • Caminhar exatamente à frequência natural do balanço da perna reduz o trabalho muscular necessário para iniciar/parar o balanço a cada passo: o sistema “favorece” oscilar no seu modo natural, que exige menos energia.
  • Assim, para um animal com dada perna, caminhar com cadência próxima a \,f\approx \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{g/L}\, é energeticamente eficiente.
  • Logo, cães com patas curtas tendem a adotar cadências maiores (mais passos/s) porque a sua frequência natural é maior; cães com patas longas têm uma frequência natural menor e, portanto, passos menos velozes.

Passo 7

Relação com o comprimento do passo e velocidade de deslocamento (para não confundir cadência com velocidade linear).
  • A velocidade de caminhada horizontal \,v\, é aproximadamente produto do comprimento do passo \,s\, pela frequência de passos:
v \approx s\,f.
  • O comprimento do passo \,s\, escala tipicamente com \,L\, (pernas mais longas permitem passos mais longos), ou seja \,s\propto L\,.
  • Substituindo \,f\propto 1/\sqrt{L} e \,s\propto L obtemos
v \propto L\cdot \frac{1}{\sqrt{L}} = \sqrt{L}.
  • Isso implica que animais maiores (com pernas mais longas) costumam ter maior velocidade de marcha absoluta, mas com menor cadência; animais pequenos têm passo curto, mas cadência alta. Portanto não há contradição: chihuahua dá passos mais velozes (maior cadência), mas não necessariamente anda mais rápido em metros por segundo que um dogue.

Passo 8

Exemplo numérico simples para fixar a ideia (usar números pequenos e interpretar).
  • Tomemos \,g=9{,}8\\ \text{m/s}^2.
  • Suponha pernas curtas \,L_{\text{curta}}=0{,}10\\ \text{m} e pernas longas \,L_{\text{longa}}=0{,}50\\ \text{m}.
  • Frequências:
f_{\text{curta}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9{,}8}{0{,}10}}\approx\frac{1}{2\pi}\sqrt{98}\approx\frac{1}{2\pi}\cdot9{,}90\approx1{,}58\\ \text{Hz},
f_{\text{longa}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9{,}8}{0{,}50}}\approx\frac{1}{2\pi}\sqrt{19{,}6}\approx\frac{1}{2\pi}\cdot4{,}43\approx0{,}70\\ \text{Hz}.
  • Resultado: a cadência do cão de pernas curtas é mais de duas vezes a do cão de pernas longas — ou seja, passos bem mais velozes em frequência.

Passo 9

Resumo prático que você pode usar numa resposta de prova (curto e direto, com a fórmula chave).
  • Frase curta para prova: “A perna durante a marcha oscila como um pêndulo; o período do pêndulo é T=2\pi\sqrt{L/g}, portanto a frequência de passos f=1/T escala como f\propto 1/\sqrt{L}. Assim, cães com patas mais curtas (menor L) têm maior frequência natural de balanço e, portanto, fazem passos mais velozes (maior cadência).”
  • Fórmula chave para decorar:
f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}.

Passo 10

Comentário final de incentivo e observações sobre limitações do modelo.
  • Observação: o modelo pêndulo é uma aproximação — músculos, massas distribuídas, ângulos grandes e comportamento individual alteram números exatos — mas captura a razão física e as ordens de grandeza.
  • Você pode usar essa ideia em questões semelhantes (por exemplo, por que crianças pequenas têm passos rapidíssimos etc.).
  • Vai dar certo na prova: explique a ideia do pêndulo, escreva a fórmula e conclua com a proporcionalidade f\propto 1/\sqrt{L}. Boa sorte — você consegue!

Resposta

Porque o balanço da perna funciona como um pêndulo: o período é T=2\pi\sqrt{L/g}, logo a frequência de passos é f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{g/L}. Assim patas mais curtas (menor L) dão maior f (mais passos por segundo), ou seja passos mais velozes.

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