BIO
Audição. Quando ondas de som atingem o tímpano, essa membrana vibra com a mesma frequência do som. O tom mais alto que humanos jovens podem ouvir tem um período de 50,0 \mu \mathrm{~s}. Quais são a frequência e a frequência angular do tímpano vibrando para esse som?

Passo 1

O enunciado dá o período do som que faz o tímpano vibrar e pede duas grandezas. Informações e pedidos:
  • Período: T=50{,}0\,\mu\mathrm{s}.
  • Perguntas: (1) Qual a frequência f do tímpano? (2) Qual a frequência angular \omega do tímpano?

Passo 2

Converter o período para unidades do SI (segundos). Explicação rápida:\n
O prefixo \mu (micro) significa 10^{-6}. Então:
T = 50{,}0\,\mu\mathrm{s}=50{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{s}.
Reescrevendo com potência de dez conveniente:
T = 5{,}00\times10^{-5}\,\mathrm{s}.
Aqui mantive as três algarismos significativos (porque o enunciado deu 50{,}0).

Passo 3

Fórmula e explicação para a frequência f.\n
A frequência f é o número de oscilações por segundo. A relação entre período T e frequência f é
f=\frac{1}{T}.
Nessa fórmula, f tem unidades de hertz ( \mathrm{Hz}), que equivale a \mathrm{s}^{-1}, e T está em segundos. Agora calculamos substituindo o T convertido:
f=\frac{1}{5{,}00\times10^{-5}\,\mathrm{s}}.
Fazendo a conta em potências de dez e fração:
f=\left(\frac{1}{5{,}00}\right)\times10^{5}\,\mathrm{s}^{-1}=0{,}200\times10^{5}\,\mathrm{Hz}=2{,}00\times10^{4}\,\mathrm{Hz}.
Interpretação curta: isso significa 20\,000 oscilações por segundo.

Passo 4

Pequeno exemplo para fixar a ideia (didático):\n
Se T=1{,}00\\ \mathrm{s} então f=1{,}00\\ \mathrm{Hz} (uma oscilação por segundo). Se T fica pequeno, f cresce — é por isso que sons de período muito pequeno têm frequência alta.

Passo 5

Fórmula e explicação para a frequência angular \omega.\n
A frequência angular \omega relaciona a oscilação temporal com um ângulo em radianos; ela é útil porque em movimentos periódicos senoidais a fase avança com rapidez \omega. A relação com f é
\omega = 2\pi f.
Aqui \omega tem unidades de radianos por segundo ( \mathrm{rad/s}). Substituindo o valor de f já encontrado:
\omega = 2\pi\times 2{,}00\times10^{4}\,\mathrm{Hz}=4{,}00\pi\times10^{4}\,\mathrm{rad/s}.
Podemos dar um valor numérico aproximado usando \pi\approx3{,}14159:
\omega \approx 1{,}25664\times10^{5}\,\mathrm{rad/s}.
Arredondando para três algarismos significativos (como o dado original), fica
\omega \approx 1{,}26\times10^{5}\,\mathrm{rad/s}.

Passo 6

Resumo interpretativo rápido e incentivo:\n
  • A frequência f calculada é 2{,}00\times10^{4}\,\mathrm{Hz}, isto é 20\\ \text{kHz}, que faz sentido para o tom mais alto audível por jovens.
  • A frequência angular \omega é cerca de 1{,}26\times10^{5}\,\mathrm{rad/s}.
    Você já tem tudo para aplicar o mesmo procedimento em qualquer problema: converter T para segundos, inverter para obter f e multiplicar por 2\pi para obter \omega. Vai dar certo — segue firme!

Resposta

f=2{,}00\times10^{4}\\ \mathrm{Hz}
\omega=1{,}26\times10^{5}\\ \mathrm{rad/s}

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