Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
3
-40.5
-2
-1
-11.4
-1
1
-4.7
0
4
-7.3
1
5
-10.8
2
-2
-8.9
3
-5
-23.4
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(9,7). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -336.9
(B) -335.9
(C) -334.9
(D) -333.9
(E) -332.9
(F) -331.9
(G) -330.9
(H) -329.9
Passo 1
O enunciado pede que ajustemos os parâmetros a, b e c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c
aos dados experimentais (minimizando o erro no sentido dos mínimos quadrados) e, com os parâmetros ajustados, calculemos o valor previsto de Z para (x,y)=(9,7).
Os dados que vou usar foram retirados da tabela do enunciado:
Explicando a ideia (de forma didática): queremos escolher (a,b,c) para minimizar a soma dos quadrados dos resíduos
S(a,b,c)=\sum_{i=1}^{7}\bigl(Z_i - (a x_i^2 + b y_i + c)\bigr)^2.
Isto é um problema linear em a,b,c porque o modelo é linear nos parâmetros (mesmo que não seja linear em x). A forma padrão é montar a matriz de desenho A e o vetor de observações z assim:
Elimino o elemento na posição (3,2) usando a segunda equação: fator = \dfrac{(59/7)}{(3825/49)}=\dfrac{413}{3825}. Subtraindo esse múltiplo da segunda linha da terceira linha, obtenho uma equação apenas para c: