Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 3 -40.5
-2 -1 -11.4
-1 1 -4.7
0 4 -7.3
1 5 -10.8
2 -2 -8.9
3 -5 -23.4
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(9,7). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -336.9
(B) -335.9
(C) -334.9
(D) -333.9
(E) -332.9
(F) -331.9
(G) -330.9
(H) -329.9

Passo 1

O enunciado pede que ajustemos os parâmetros a, b e c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c
aos dados experimentais (minimizando o erro no sentido dos mínimos quadrados) e, com os parâmetros ajustados, calculemos o valor previsto de Z para (x,y)=(9,7).
Os dados que vou usar foram retirados da tabela do enunciado:
\begin{array}{r|r|r} x & y & Z\\hline -3 & 3 & -40{,}5\\\\ -2 & -1 & -11{,}4\\\\ -1 & 1 & -4{,}7\\\\ 0 & 4 & -7{,}3\\\\ 1 & 5 & -10{,}8\\\\ 2 & -2 & -8{,}9\\\\ 3 & -5 & -23{,}4 \end{array}

Passo 2

Explicando a ideia (de forma didática): queremos escolher (a,b,c) para minimizar a soma dos quadrados dos resíduos
S(a,b,c)=\sum_{i=1}^{7}\bigl(Z_i - (a x_i^2 + b y_i + c)\bigr)^2.
Isto é um problema linear em a,b,c porque o modelo é linear nos parâmetros (mesmo que não seja linear em x). A forma padrão é montar a matriz de desenho A e o vetor de observações z assim:
A=\begin{pmatrix} x_1^2 & y_1 & 1 \\\ x_2^2 & y_2 & 1 \\\ \vdots & \vdots & \vdots \\\ x_7^2 & y_7 & 1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{p}=\begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix}, \quad \mathbf{z}=\begin{pmatrix}Z_1\Z_2\\vdots\Z_7\end{pmatrix}.
Os mínimos quadrados levam às equações normais
A^{T}A\,\mathbf{p}=A^{T}\mathbf{z},
que é um sistema linear 3\times3 para \mathbf{p}. Vou construir A, calcular A^{T}A e A^{T}\mathbf{z} usando os dados da tabela e resolver o sistema.

Passo 3

Construo A e \mathbf{z} usando cada linha da tabela (aqui já substituí x^2 numericamente):
A = \begin{pmatrix} 9 & 3 & 1\\\\ 4 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 4 & 1\\\\ 1 & 5 & 1\\\\ 4 & -2 & 1\\\\ 9 & -5 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{z} = \begin{pmatrix} -40{,}5\\\\ -11{,}4\\\\ -4{,}7\\\\ -7{,}3\\\\ -10{,}8\\\\ -8{,}9\\\\ -23{,}4 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calculo as somas necessárias para A^{T}A e A^{T}\mathbf{z}. Vou mostrar as somas usadas:
  • \displaystyle \sum x^2 = 9+4+1+0+1+4+9 = 28.
  • \displaystyle \sum y = 3-1+1+4+5-2-5 = 5.
  • \displaystyle n=7.
  • \displaystyle \sum (x^2)^2 = 9^2+4^2+1^2+0^2+1^2+4^2+9^2 = 81+16+1+0+1+16+81 = 196.
  • \displaystyle \sum y^2 = 3^2+(-1)^2+1^2+4^2+5^2+(-2)^2+(-5)^2 = 81.
  • \displaystyle \sum x^2 y = 9\cdot3 + 4\cdot(-1) + 1\cdot1 + 0\cdot4 + 1\cdot5 + 4\cdot(-2) + 9\cdot(-5) = -24.
  • \displaystyle \sum Z = -40{,}5-11{,}4-4{,}7-7{,}3-10{,}8-8{,}9-23{,}4 = -107{,}0.
  • \displaystyle \sum yZ = 3(-40{,}5) + (-1)(-11{,}4) + 1(-4{,}7) + 4(-7{,}3) + 5(-10{,}8) + (-2)(-8{,}9) + (-5)(-23{,}4) = -63{,}2.
  • \displaystyle \sum x^2 Z = 9(-40{,}5)+4(-11{,}4)+1(-4{,}7)+0(-7{,}3)+1(-10{,}8)+4(-8{,}9)+9(-23{,}4) = -671{,}8.
Agora monto
A^{T}A = \begin{pmatrix} \sum (x^2)^2 & \sum x^2 y & \sum x^2\\[4pt] \sum x^2 y & \sum y^2 & \sum y\\[4pt] \sum x^2 & \sum y & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & -24 & 28\\[4pt] -24 & 81 & 5\\[4pt] 28 & 5 & 7 \end{pmatrix},
A^{T}\mathbf{z} = \begin{pmatrix} \sum x^2 Z\\[4pt] \sum y Z\\[4pt] \sum Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -671{,}8\\[4pt] -63{,}2\\[4pt] -107{,}0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora resolvo o sistema linear
\begin{pmatrix} 196 & -24 & 28\\\\ -24 & 81 & 5\\\\ 28 & 5 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-671{,}8\\\\ -63{,}2\\\\ -107{,}0\end{pmatrix}.
Faço eliminação linear (mostro os passos essenciais com os fatores usados):
  1. Elimino os elementos da coluna 1 em R2 e R3 usando R1:
  • R2 ← R2 + (6/49) R1 (porque (-24)/196 = -6/49)
  • R3 ← R3 - (1/7) R1 (porque 28/196 = 1/7)
Após essas operações (cálculos mostrados no rascunho), obtemos o sistema equivalente
\begin{pmatrix} 196 & -24 & 28\\\\ 0 & \dfrac{3825}{49} & \dfrac{59}{7}\\\\ 0 & \dfrac{59}{7} & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-671{,}8\\[4pt] -\dfrac{35638}{245}\\[4pt] -\dfrac{386}{35}\end{pmatrix}.
  1. Elimino o elemento na posição (3,2) usando a segunda equação: fator = \dfrac{(59/7)}{(3825/49)}=\dfrac{413}{3825}. Subtraindo esse múltiplo da segunda linha da terceira linha, obtenho uma equação apenas para c:
\Bigl(\dfrac{55958}{26775}\Bigr)\,c = \dfrac{626192}{133875}.
Isto dá, após simplificar as frações,
c = \dfrac{626192}{279790} = \dfrac{313096}{139895} \approx 2{,}238081\ldots
(Sei que esses números parecem enormes — são consequência das combinações racionais exatas; o decimal é a forma prática para continuar os cálculos.)]

Passo 6

Com c encontrado, volto à segunda equação (após as eliminações) para encontrar b:
\frac{3825}{49}\,b + \frac{59}{7}\,c = -\frac{35638}{245}.
Substituindo c\approx 2{,}238081, resolvo para b e obtenho (exatidão racional mostrada no rascunho)
b = -\frac{1001266}{475643} \approx -2{,}10505\ldots

Passo 7

Por fim uso a primeira equação original para obter a:
196\,a -24\,b +28\,c = -671{,}8.
Substituindo b\approx -2{,}10505 e c\approx 2{,}238081 e resolvendo,
a \approx -4{,}005039\ldots
Resumo numérico dos parâmetros (arredondando sensivelmente para cálculo manual):
a \approx -4{,}005039,\qquad b \approx -2{,}10505,\qquad c \approx 2{,}238081.

Passo 8

Agora calculo a predição para (x,y)=(9,7):
Z(9,7) = a\cdot 9^{2} + b\cdot 7 + c = a\cdot 81 + 7b + c.
Substituindo os valores:
Z(9,7) \approx (-4{,}005039)\cdot 81 + 7\cdot(-2{,}10505) + 2{,}238081.
Calculo numérico passo a passo:
(-4{,}005039)\cdot 81 \approx -324{,}407159,
7\cdot(-2{,}10505) \approx -14{,}73535,
\text{somando: } -324{,}407159 -14{,}73535 + 2{,}238081 \approx -336{,}904428.
Arredondando para a precisão das opções apresentadas, o valor previsto é aproximadamente -336{,}9.

Resposta

(A) -336.9

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