Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
-5
22.0
-2
3
18.2
-1
1
0.5
0
-5
-16.0
1
2
4.0
2
4
18.1
3
-3
26.5
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(7,7). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
(A) 212.3
(B) 213.3
(C) 214.3
(D) 215.3
(E) 216.3
(F) 217.3
(G) 218.3
(H) 219.3
Passo 1
O enunciado dá o modelo Z=a x^{2}+b y+c e 7 medições (x,y,Z). Pede-se ajustar a,b,c por mínimos quadrados e, com o modelo ajustado, prever Z em (x,y)=(7,7). Dados tabelados (copiei os x,y,Z da tabela do enunciado):
Informações relevantes extraídas (vão ser usadas para formar as somas):
Para cada linha calculo x^{2} (vai ser coluna do modelo).
São 7 pontos no total (n=7).
A saída final pedida é o valor estimado de Z em (7,7).
Passo 2
Como modelo é linear nos parâmetros a,b,c (apesar de ter x^{2}), aplicamos mínimos quadrados lineares usando a forma matricial. Montamos a matriz de projeto X com colunas [x^{2},\, y,\, 1], o vetor de parâmetros \theta=\begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} e o vetor de observações z. O vetor solução \hat\theta mínima-quadrados satisfaz as equações normais
\left(X^{T}X\right)\hat\theta = X^{T} z.
Aqui cada soma que aparece em X^{T}X ou X^{T}z será explicada e calculada explicitamente.
Passo 3
Calculo dos termos necessários (primeiro faço a coluna x^{2} e listo produtos linha a linha):
Eliminando a segunda coluna na terceira linha com R_3 \leftarrow R_3 - \gamma R_2 onde \gamma=\dfrac{2.857142857142857}{80.41836734693878}\approx 0.035517, obtemos a linha triangular: