Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 -5 22.0
-2 3 18.2
-1 1 0.5
0 -5 -16.0
1 2 4.0
2 4 18.1
3 -3 26.5
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(7,7). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
(A) 212.3
(B) 213.3
(C) 214.3
(D) 215.3
(E) 216.3
(F) 217.3
(G) 218.3
(H) 219.3

Passo 1

O enunciado dá o modelo Z=a x^{2}+b y+c e 7 medições (x,y,Z). Pede-se ajustar a,b,c por mínimos quadrados e, com o modelo ajustado, prever Z em (x,y)=(7,7). Dados tabelados (copiei os x,y,Z da tabela do enunciado):
\begin{array}{r|r|r} x & y & Z\\hline -3 & -5 & 22.0\\\\ -2 & 3 & 18.2\\\\ -1 & 1 & 0.5\\\\ 0 & -5 & -16.0\\\\ 1 & 2 & 4.0\\\\ 2 & 4 & 18.1\\\\ 3 & -3 & 26.5 \end{array}
Informações relevantes extraídas (vão ser usadas para formar as somas):
  • Para cada linha calculo x^{2} (vai ser coluna do modelo).
  • São 7 pontos no total ( n=7).
  • A saída final pedida é o valor estimado de Z em (7,7).

Passo 2

Como modelo é linear nos parâmetros a,b,c (apesar de ter x^{2}), aplicamos mínimos quadrados lineares usando a forma matricial. Montamos a matriz de projeto X com colunas [x^{2},\, y,\, 1], o vetor de parâmetros \theta=\begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} e o vetor de observações z. O vetor solução \hat\theta mínima-quadrados satisfaz as equações normais
\left(X^{T}X\right)\hat\theta = X^{T} z.
Aqui cada soma que aparece em X^{T}X ou X^{T}z será explicada e calculada explicitamente.

Passo 3

Calculo dos termos necessários (primeiro faço a coluna x^{2} e listo produtos linha a linha):
Tabela com x^{2}, y e Z e alguns produtos:
\begin{array}{r|r|r|r|r} x & x^{2} & y & Z & \text{notas}\\hline -3 & 9 & -5 & 22.0 & 9\cdot 22.0 = 198.0,\; -5\cdot22.0=-110.0\\\\ -2 & 4 & 3 & 18.2 & 4\cdot18.2 = 72.8,\; 3\cdot18.2=54.6\\\\ -1 & 1 & 1 & 0.5 & 1\cdot0.5 = 0.5,\; 1\cdot0.5=0.5\\\\ 0 & 0 & -5 & -16.0 & 0\cdot(-16.0)=0,\; -5\cdot(-16.0)=80.0\\\\ 1 & 1 & 2 & 4.0 & 1\cdot4.0=4.0,\; 2\cdot4.0=8.0\\\\ 2 & 4 & 4 & 18.1 & 4\cdot18.1=72.4,\; 4\cdot18.1=72.4\\\\ 3 & 9 & -3 & 26.5 & 9\cdot26.5=238.5,\; -3\cdot26.5=-79.5 \end{array}
Agora somas usadas nas equações normais (mostro cada soma):
\begin{aligned} \sum x^{2} &= 9+4+1+0+1+4+9 = 28,\\\ \sum y &= -5+3+1-5+2+4-3 = -3,\\\ \sum 1 &= n = 7. \end{aligned}
Produtos de colunas:
\begin{aligned} \sum (x^{2})^{2} &= 9^{2}+4^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}+4^{2}+9^{2} = 81+16+1+0+1+16+81 = 196,\\\ \sum (x^{2}\,y) &= 9(-5)+4(3)+1(1)+0(-5)+1(2)+4(4)+9(-3)\\\ &= -45+12+1+0+2+16-27 = -41,\\\ \sum y^{2} &= (-5)^{2}+3^{2}+1^{2}+(-5)^{2}+2^{2}+4^{2}+(-3)^{2}\\\ &=25+9+1+25+4+16+9 = 89. \end{aligned}
E produtos com Z:
\begin{aligned} \sum Z &= 22.0+18.2+0.5-16.0+4.0+18.1+26.5 = 73.3,\\\ \sum x^{2}Z &= 198.0+72.8+0.5+0+4.0+72.4+238.5 = 586.2,\\\ \sum yZ &= -110.0+54.6+0.5+80.0+8.0+72.4-79.5 = 26.0. \end{aligned}

Passo 4

Formo as equações normais na forma matricial. Com as somas obtidas:
X^{T}X = \begin{pmatrix} \sum (x^{2})^{2} & \sum (x^{2}y) & \sum x^{2}\\[4pt] \sum (x^{2}y) & \sum y^{2} & \sum y\\[4pt] \sum x^{2} & \sum y & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & -41 & 28\\[4pt] -41 & 89 & -3\\[4pt] 28 & -3 & 7 \end{pmatrix},
e
X^{T}z = \begin{pmatrix} \sum x^{2}Z\\[4pt] \sum yZ\\[4pt] \sum Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 586.2\\[4pt] 26.0\\[4pt] 73.3 \end{pmatrix}.
As equações normais ficam
\begin{pmatrix} 196 & -41 & 28\\\\ -41 & 89 & -3\\\\ 28 & -3 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}586.2\\\\ 26.0\\\\ 73.3\end{pmatrix}.
Agora resolvo esse sistema linear (vou mostrar eliminação gaussiana com valores numéricos).
  1. Usando R_2 \leftarrow R_2 +\dfrac{41}{196}R_1 e R_3 \leftarrow R_3 -\dfrac{28}{196}R_1 obtemos (valores numéricos):
\begin{pmatrix} 196 & -41 & 28 & | & 586.2\\[4pt] 0 & 80.41836734693878 & 2.857142857142857 & | & 148.6234693877551\\[4pt] 0 & 2.857142857142857 & 3 & | & -10.442857142857147 \end{pmatrix}.
  1. Eliminando a segunda coluna na terceira linha com R_3 \leftarrow R_3 - \gamma R_2 onde \gamma=\dfrac{2.857142857142857}{80.41836734693878}\approx 0.035517, obtemos a linha triangular:
\begin{pmatrix} 196 & -41 & 28 & | & 586.2\\\\ 0 & 80.4183673 & 2.8571429 & | & 148.6234694\\\\ 0 & 0 & 2.8985229 & | & -15.7214567 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora retro-substituo para obter c,b,a.
Da terceira linha:
2.8985229\; c = -15.7214567 \quad\Rightarrow\quad c \approx \frac{-15.7214567}{2.8985229} \approx -5.425000.
Da segunda linha:
80.4183673\; b + 2.8571429\; c = 148.6234694
substituindo c:
80.4183673\; b + 2.8571429(-5.425000) = 148.6234694.
Como 2.8571429\cdot 5.425000 = 15.500000, obtemos
80.4183673\; b = 148.6234694 + 15.500000 = 164.1234694,
portanto
b \approx \frac{164.1234694}{80.4183673} \approx 2.040499.
Da primeira linha:
196\; a -41\; b +28\; c = 586.2.
Substituindo b e c:
196\; a = 586.2 +41\cdot b -28\cdot c.
Calculo dos termos:
41\cdot b \approx 41\cdot 2.040499 \approx 83.660459,
-28\cdot c = -28\cdot(-5.425000) = +151.900000.
Assim
196\; a \approx 586.2 + 83.660459 +151.900000 = 821.760459,
portanto
a \approx \frac{821.760459}{196} \approx 4.193461.
Resumo dos parâmetros (arredondados):
a \approx 4{,}193461,\quad b \approx 2{,}040499,\quad c \approx -5{,}425000.

Passo 6

Agora prevejo Z para (x,y)=(7,7) usando o modelo ajustado:
Z(7,7)=a\cdot 7^{2} + b\cdot 7 + c = 49a +7b + c.
Substituindo os valores:
49a \approx 49\cdot 4{,}193461 \approx 205{,}473589,
7b \approx 7\cdot 2{,}040499 \approx 14{,}283493,
c \approx -5{,}425000.
Somando:
Z(7,7) \approx 205{,}473589 + 14{,}283493 -5{,}425000 \approx 214{,}332082.
Arredondando para uma casa decimal (como nas opções): Z(7,7)\approx 214{,}3.

Resposta

(C) 214.3

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