Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=x^{2}-2 x+4 na reta gerada por q(x)=2-3 x.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de x^{2}-2 x+4 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 2-3 x é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) 2 x^{2}-4 x+8
(B) \frac{7}{2}-\frac{21 x}{4}
(C) \frac{11 x^{2}}{6}-\frac{11 x}{3}+\frac{22}{3}
(D) 4-6 x
(E) \frac{7 x^{2}}{4}-\frac{7 x}{2}+7
(F) \frac{23}{6}-\frac{23 x}{4}
(G) \frac{11}{3}-\frac{11 x}{2}
(H) \frac{23 x^{2}}{12}-\frac{23 x}{6}+\frac{23}{3}

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial \mathcal{P}_{2} com o produto interno
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx,
e fornece os polinômios \,p(x)=x^{2}-2x+4 e \,q(x)=2-3x.
A pergunta é: qual é a projeção ortogonal de p na reta gerada por q? Ou seja, qual é o polinômio da forma k\,q(x) que é a projeção de p sobre \mathrm{span}\{q\}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada): a projeção ortogonal de um vetor p sobre a reta gerada por um vetor q no espaço com produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle é
\operatorname{proj}_{\langle q\rangle} p = \frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}\;q.
Aqui \langle p,q\rangle é um número (produto interno entre p e q), \langle q,q\rangle é o quadrado da norma de q (também um número). O quociente é o escalar k tal que kq é a projeção. Intuição rápida: esse k é escolhido para que p-kq seja ortogonal a q, minimizando a distância entre p e múltiplos de q.

Passo 3

Calcular o numerador \langle p,q\rangle. Primeiro expandimos o produto p(x)q(x):
p(x)q(x)=(x^{2}-2x+4)(2-3x).
Fazendo a multiplicação termo a termo:
(x^{2}-2x+4)(2-3x)=-3x^{3}+8x^{2}-16x+8.
Agora integramos de 0 a 1:
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}(-3x^{3}+8x^{2}-16x+8)\,dx.
Integramos cada termo:
\int_{0}^{1}-3x^{3}\,dx=-3\cdot\frac{1^{4}}{4}=-\frac{3}{4},
\int_{0}^{1}8x^{2}\,dx=8\cdot\frac{1^{3}}{3}=\frac{8}{3},
\int_{0}^{1}-16x\,dx=-16\cdot\frac{1^{2}}{2}=-8,
\int_{0}^{1}8\,dx=8\cdot 1=8.
Somando:
\langle p,q\rangle=-\frac{3}{4}+\frac{8}{3}-8+8=-\frac{3}{4}+\frac{8}{3}=\frac{23}{12}.
(Usei denominador comum 12: -9+32=23.)

Passo 4

Calcular o denominador \langle q,q\rangle:
\langle q,q\rangle=\int_{0}^{1}(2-3x)^{2}\,dx=\int_{0}^{1}(4-12x+9x^{2})\,dx.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}4\,dx=4,\qquad \int_{0}^{1}-12x\,dx=-12\cdot\frac{1}{2}=-6,\qquad \int_{0}^{1}9x^{2}\,dx=9\cdot\frac{1}{3}=3.
Somando:
\langle q,q\rangle=4-6+3=1.

Passo 5

Calcular o escalar da projeção:
k=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}=\frac{23/12}{1}=\frac{23}{12}.
Portanto a projeção é
\operatorname{proj}_{\langle q\rangle} p = \frac{23}{12}\,(2-3x).
Multiplicando e simplificando frações:
\frac{23}{12}\cdot 2=\frac{46}{12}=\frac{23}{6}, \qquad \frac{23}{12}\cdot(-3x)=-\frac{69}{12}x=-\frac{23}{4}x.
Logo a projeção é
\frac{23}{6}-\frac{23}{4}x.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, a opção que coincide é a (F), que apresenta exatamente
\frac{23}{6}-\frac{23x}{4}.

Resposta

(F)

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