Q13: Em um determinado fenômeno fisico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependencia é Z=a x^{2}+b y+c, onde os paråmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 4 -44.4
-2 3 -19.2
-1 3 -7.4
0 3 -5.3
1 4 -12.1
2 -3 -0.7
3 -3 -22.6
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo eos dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(8,8). Assinale a melhor aproximaçāo para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estāo disponíveis online.
(A) -289.0
(B) -288.0
(C) -287.0
(D) -286.0
(E) -285.0
(F) -284.0
(G) -283.0
(H) -282.0

Passo 1

O enunciado pede que eu ajuste por mínimos quadrados os parâmetros a, b e c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c
usando as 7 medições dadas, e em seguida calcule o valor previsto de Z para (x,y)=(8,8). Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são:
  • (x,y,Z)=(-3,4,-44{,}4) com x^{2}=9.
  • (x,y,Z)=(-2,3,-19{,}2) com x^{2}=4.
  • (x,y,Z)=(-1,3,-7{,}4) com x^{2}=1.
  • (x,y,Z)=(0,3,-5{,}3) com x^{2}=0.
  • (x,y,Z)=(1,4,-12{,}1) com x^{2}=1.
  • (x,y,Z)=(2,-3,-0{,}7) com x^{2}=4.
  • (x,y,Z)=(3,-3,-22{,}6) com x^{2}=9.
Resumindo: ajustar a,b,c para minimizar somatório dos quadrados dos resíduos e depois calcular Z previsto em (8,8).

Passo 2

Vou transformar o problema num problema linear em parâmetros. Defino o vetor de parâmetros
\beta=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix},
a matriz de projeto X com colunas correspondendo a x^{2}, y e 1 (termo independente), e o vetor de observações z com os valores medidos de Z. O modelo em forma matricial é
z = X\beta + \varepsilon,
onde \varepsilon são os resíduos. A condição de mínimos quadrados leva às equações normais
X^{T}X\,\beta = X^{T}z.
Explicando rápido: minimizar a soma dos quadrados dos resíduos é equivalente a resolver \nabla_{\beta}\|z-X\beta\|^{2}=0, que produz exatamente 2X^{T}(X\beta-z)=0, isto é X^{T}X\beta=X^{T}z. Assim preciso construir X^{T}X e X^{T}z a partir dos dados e resolver o sistema linear resultante para \beta.]

Passo 3

Construo os regressores e calculo as somas necessárias (peguei cada x^{2} da etapa anterior):
Vou calcular os somatórios básicos sobre os 7 pontos:
\begin{aligned} &\sum x^{2} = 9+4+1+0+1+4+9 = 28,\\[2pt] &\sum y = 4+3+3+3+4-3-3 = 11,\\[2pt] &\sum 1 = 7. \end{aligned}
Agora os somatórios quadráticos e cruzados:
\begin{aligned} &\sum (x^{2})^{2} = 9^{2}+4^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}+4^{2}+9^{2} = 196,\\[2pt] &\sum y^{2} = 4^{2}+3^{2}+3^{2}+3^{2}+4^{2}+(-3)^{2}+(-3)^{2} = 77,\\[2pt] &\sum x^{2}\,y = 9\cdot4 + 4\cdot3 + 1\cdot3 + 0\cdot3 + 1\cdot4 + 4\cdot(-3) + 9\cdot(-3) = 16. \end{aligned}
E os produtos com as observações Z (peguei cada Z da tabela):
\begin{aligned} &\sum x^{2}Z = 9(-44{,}4)+4(-19{,}2)+1(-7{,}4)+0(-5{,}3)+1(-12{,}1)+4(-0{,}7)+9(-22{,}6) = -702{,}1,\\[2pt] &\sum yZ = 4(-44{,}4)+3(-19{,}2)+3(-7{,}4)+3(-5{,}3)+4(-12{,}1})+(-3)(-0{,}7)+(-3)(-22{,}6) = -251{,}8,\\[2pt] &\sum Z = -44{,}4-19{,}2-7{,}4-5{,}3-12{,}1-0{,}7-22{,}6 = -111{,}7. \end{aligned}
(Se quiser conferir, pode somar linha a linha da tabela; eu usei exatamente os números da tabela fornecida.)]

Passo 4

Com esses somatórios, monto as equações normais. A matriz X^{T}X e o vetor X^{T}z são:
X^{T}X= \begin{pmatrix} \sum (x^{2})^{2} & \sum x^{2}y & \sum x^{2}\\[4pt] \sum x^{2}y & \sum y^{2} & \sum y\\[4pt] \sum x^{2} & \sum y & \sum 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & 16 & 28\\[4pt] 16 & 77 & 11\\[4pt] 28 & 11 & 7 \end{pmatrix},
X^{T}z= \begin{pmatrix} \sum x^{2}Z\\[4pt] \sum yZ\\[4pt] \sum Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -702{,}1\\[4pt] -251{,}8\\[4pt] -111{,}7 \end{pmatrix}.
Portanto preciso resolver o sistema linear
\begin{pmatrix} 196 & 16 & 28\\[4pt] 16 & 77 & 11\\[4pt] 28 & 11 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -702{,}1\\[4pt] -251{,}8\\[4pt] -111{,}7 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolvo o sistema por eliminação (vou mostrar os passos essenciais das operações aritméticas, sem pular contas):
  1. Eliminação usando a primeira linha como pivô:
  • Subtraio \dfrac{16}{196}=\dfrac{4}{49} vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtraio \dfrac{28}{196}=\dfrac{1}{7} vezes a primeira linha da terceira linha.
Isso produz o sistema equivalente (linhas 2 e 3 transformadas):
\begin{aligned} &75{,}693877551\; b \;+\;8{,}714285714\; c \;=\; -194{,}469387755,\\[4pt] &8{,}714285714\; b \;+\;3\; c \;=\; -11{,}4. \end{aligned}
(Os coeficientes acima vêm de operações aritméticas exatas sobre os inteiros; apresentei-os com precisão suficiente para continuar.)
  1. Multiplicando para eliminar denominadores e facilitar a solução, transformei essas duas equações em um sistema inteiro equivalente (multiplicando por 49 e por 7 e por 5 para eliminar décimos):
\begin{aligned} &18545\, b \;+\;2135\, c \;=\; -47649,\\[4pt] &305\, b \;+\;105\, c \;=\; -399. \end{aligned}
  1. Eliminação final: eliminando c entre essas duas equações (por combinação linear) obtive uma equação só em b:
1\,296\,050\, b = -4\,151\,280,
portanto
b = -\frac{4\,151\,280}{1\,296\,050}\approx -3{,}20302457.
  1. Substituo b numa das equações reduzidas (por exemplo 305 b + 105 c = -399) e resolvo para c:
c = \frac{-399 - 305 b}{105}\approx 5{,}50497613.
  1. Finalmente obtemos a a partir da primeira equação normal 196 a + 16 b + 28 c = -702{,}1:
a = \frac{-702{,}1 - 16 b - 28 c}{196}\approx -4{,}10862245.
Resumindo os parâmetros ajustados (com precisão suficiente para prever):
a \approx -4{,}10862245,\qquad b \approx -3{,}20302457,\qquad c \approx 5{,}50497613.
(Dica prática: esses cálculos são exatamente os que um software faz; eu mostrei a redução algébrica para que você entenda como os números aparecem.)]

Passo 6

Agora calculo a previsão para (x,y)=(8,8). O modelo dá
Z(8,8) = a\cdot 8^{2} + b\cdot 8 + c = a\cdot 64 + 8b + c.
Substituindo os valores obtidos:
\begin{aligned} a\cdot 64 &\approx -4{,}10862245\cdot 64 \approx -262{,}95183677,\\[4pt] 8b &\approx 8\cdot(-3{,}20302457) \approx -25{,}62419656,\\[4pt] c &\approx 5{,}50497613. \end{aligned}
Somando,
Z(8,8)\approx -262{,}95183677 -25{,}62419656 + 5{,}50497613 \approx -283{,}0710572.
Arredondando para a melhor aproximação disponível entre as opções fornecidas, o valor mais próximo é -283{,}0.]

Resposta

\text{(G) } -283{,}0

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