Q12: Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
. Procure entender por que isto émais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
Passo 1
O enunciado nos dá:
-
. -
.
O que o problema pede:
- Calcular
, a projeção ortogonal de sobre . - Especificamente, informar o valor de
, a terceira entrada de .
Passo 2
Ideia matemática que vou usar (explicando passo a passo):
- A equação
define um hiperplano cujo vetor normal é . Isto significa que . - Qualquer vetor
se decompõe de forma única como
onde
e
. A projeção de
em
é
.
- Como
é gerado pelo único vetor , a projeção ortogonal de em é a projeção de sobre a reta gerada por . A fórmula para projetar sobre é
Aqui:
-
é o produto escalar (soma dos produtos das coordenadas correspondentes). -
é o quadrado da norma de . - Depois,
.
Passo 3
Calcular
e
.
- Primeiro identifiquei
. - Produto escalar:
Agora faço as contas passo a passo:
Somando:
- Agora
:
Passo 4
Calcular a projeção de
em
:
Como
, temos
Passo 5
Agora obtenho a projeção de
em
subtraindo a componente em
:
Faço a subtração coordenada a coordenada:
Passo 6
A terceira entrada de
é a coordenada correspondente a
, que é
Portanto a alternativa correta é a que indica
.
Resposta
1 (A)