Q12: Sejam \vec{v}=(9,8,-5,2) e
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+3 y-2 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} \mathrm{em} H^{\perp}. Procure entender por que isto émais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • \vec{v}=(9,8,-5,2).
  • H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x+3y-2z+w=0\}.
O que o problema pede:
  • Calcular \vec{w}=P_H\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
  • Especificamente, informar o valor de w_3, a terceira entrada de \vec{w}.

Passo 2

Ideia matemática que vou usar (explicando passo a passo):
  • A equação x+3y-2z+w=0 define um hiperplano H cujo vetor normal é \vec{n}=(1,3,-2,1). Isto significa que H^\perp=\operatorname{span}\{\vec{n}\}.
  • Qualquer vetor \vec{v} se decompõe de forma única como
\vec{v}=\vec{w}+\vec{u},
onde \vec{w}\in H e \vec{u}\in H^\perp. A projeção de \vec{v} em H é \vec{w}=\vec{v}-\vec{u}.
  • Como H^\perp é gerado pelo único vetor \vec{n}, a projeção ortogonal de \vec{v} em H^\perp é a projeção de \vec{v} sobre a reta gerada por \vec{n}. A fórmula para projetar \vec{v} sobre \vec{n} é
\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\;\vec{n}.
Aqui:
  • \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto escalar (soma dos produtos das coordenadas correspondentes).
  • \vec{n}\cdot\vec{n} é o quadrado da norma de \vec{n}.
  • Depois, \vec{w}= \vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v}).

Passo 3

Calcular \vec{v}\cdot\vec{n} e \vec{n}\cdot\vec{n}.
  • Primeiro identifiquei \vec{n}=(1,3,-2,1).
  • Produto escalar:
\vec{v}\cdot\vec{n}=9\cdot1 + 8\cdot3 + (-5)\cdot(-2) + 2\cdot1.
Agora faço as contas passo a passo:
9\cdot1 = 9,\quad 8\cdot3 = 24,\quad (-5)\cdot(-2)=10,\quad 2\cdot1=2.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{n}=9+24+10+2=45.
  • Agora \vec{n}\cdot\vec{n}:
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+3^2+(-2)^2+1^2=1+9+4+1=15.

Passo 4

Calcular a projeção de \vec{v} em H^\perp:
\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\;\vec{n}=\frac{45}{15}\,\vec{n}=3\vec{n}.
Como \vec{n}=(1,3,-2,1), temos
\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v})=3(1,3,-2,1)=(3,9,-6,3).

Passo 5

Agora obtenho a projeção de \vec{v} em H subtraindo a componente em H^\perp:
\vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v})=(9,8,-5,2)-(3,9,-6,3).
Faço a subtração coordenada a coordenada:
\vec{w}=(9-3,\;8-9,\;-5-(-6),\;2-3)=(6,-1,1,-1).

Passo 6

A terceira entrada de \vec{w} é a coordenada correspondente a z, que é
w_3 = 1.
Portanto a alternativa correta é a que indica 1.

Resposta

1 (A)

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