Q13: Em um determinado fenómeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependéncia é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parämetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 3 -32.9
-2 3 -8.3
-1 1 3.2
0 -1 4.1
1 -4 -8.7
2 -5 -25.9
3 -3 -44.6
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os paråmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(9,8). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestāo: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estiō disponíveis online.

Passo 1

O enunciado pede que se ajuste por mínimos quadrados os parâmetros a,b,c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c
a partir de 7 medições. Depois de ajustar os parâmetros, é pedido o valor previsto de Z no ponto (x,y)=(9,8).
Dados fornecidos (peguei todos os números do enunciado):
\begin{array}{r|r|r} x & y & Z\\hline -3 & 3 & -32{,}9\\\\ -2 & 3 & -8{,}3\\\\ -1 & 1 & 3{,}2\\\\ 0 & -1 & 4{,}1\\\\ 1 & -4 & -8{,}7\\\\ 2 & -5 & -25{,}9\\\\ 3 & -3 & -44{,}6 \end{array}
O que é pedido:
  • Encontrar a, b e c que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos entre Z observado e Z do modelo.
  • Calcular o valor previsto pelo modelo ajustado em (x,y)=(9,8).

Passo 2

Idéia do método (sem resolver ainda): para um modelo linear nos parâmetros (aqui os parâmetros aparecem linearmente, pois o termo em x é x^2 que é um dado conhecido), a solução dos mínimos quadrados vem das equações normais:
A^{T}A\,\theta = A^{T}z,
onde \theta=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix}, z é o vetor das medições de Z e a matriz de desenho A tem linhas \bigl[x^{2},\; y,\; 1\bigr] para cada medição.
Explicando passo a passo:
  • A é a matriz 7\times3 cujas linhas são \bigl[x_{i}^{2},\,y_{i},\,1\bigr].
  • A^{T}A é uma 3\times3 que contém somas de produtos dos regressores (por exemplo \sum x_i^4, \sum x_i^2 y_i, etc.).
  • A^{T}z é um vetor 3\times1 com as somas \sum x_i^2 Z_i, \sum y_i Z_i, \sum Z_i.
  • Resolver as equações normais dá os coeficientes \theta. Pode-se resolver por eliminação gaussiana ou usando software (planilha, Python, Octave, etc.). Eu usei uma resolução numérica para evitar aritmética excessivamente longa à mão; abaixo descrevo os cálculos fundamentais e mostro os resultados.]

Passo 3

Calcular os somatórios necessários (faço um pequeno quadro mental com x^2 também). Para cada ponto calculei x^2 e então as somas:
Valores de x^{2}: 9,\,4,\,1,\,0,\,1,\,4,\,9.
Somas relevantes (calculei diretamente a partir da tabela):
\begin{aligned} n &= 7,\\[4pt] \sum x^{2} &= 28,\\[4pt] \sum y &= -6,\\[4pt] \sum 1 &= 7,\\[4pt] \sum x^{4} &= 196,\\[4pt] \sum x^{2}y &= -11,\\[4pt] \sum y^{2} &= 70. \end{aligned}
E as somas envolvendo Z (usei os valores de Z do enunciado):
\begin{aligned} \sum Z &= -113{,}1,\\[4pt] \sum x^{2}Z &= -839{,}8,\\[4pt] \sum yZ &= 173{,}6. \end{aligned}
Observação rápida sobre como se obtêm estes somatórios: por exemplo \sum x^{2}Z = \sum (x_i^2\cdot Z_i); para o primeiro ponto foi 9\cdot(-32{,}9)=-296{,}1 e assim por diante, somando tudo dá -839{,}8.]

Passo 4

Formo as equações normais. A matriz A^{T}A e o vetor A^{T}z ficam:
A^{T}A = \begin{pmatrix} \sum x^{4} & \sum x^{2}y & \sum x^{2}\\[4pt] \sum x^{2}y & \sum y^{2} & \sum y\\[4pt] \sum x^{2} & \sum y & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & -11 & 28\\[4pt] -11 & 70 & -6\\[4pt] 28 & -6 & 7 \end{pmatrix},
A^{T}z = \begin{pmatrix} \sum x^{2}Z\\[4pt] \sum yZ\\[4pt] \sum Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -839{,}8\\[4pt] 173{,}6\\[4pt] -113{,}1 \end{pmatrix}.
As equações normais a resolver são
\begin{pmatrix} 196 & -11 & 28\\[4pt] -11 & 70 & -6\\[4pt] 28 & -6 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-839{,}8\\[4pt] 173{,}6\\[4pt] -113{,}1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Como a resolução manual exata é trabalhosa (frações longas), resolvi o sistema numérico das equações normais com precisão suficiente (pode-se usar uma planilha ou Python). Antes de mostrar os números finais, resumo a forma de resolver à mão (se precisar aplicar na prova sem computador):
  • Aplicar eliminação gaussiana às equações normais: eliminar primeiro a primeira coluna nas linhas 2 e 3, depois eliminar a segunda coluna na terceira linha, obter sistema triangular superior e fazer retro-substituição.
  • Alternativamente, utilizar inversão da matriz A^{T}A (quando 3×3, possível manualmente) e multiplicar por A^{T}z.
Agora, usando cálculo numérico (planilha / Python) para obter valores com boa precisão, obtém-se os parâmetros.

Passo 6

Resultado do ajuste (valores encontrados para os parâmetros, arredondados com razoável precisão):
\begin{aligned} a &\approx -4{,}94821,\\[4pt] b &\approx 2{,}17397,\\[4pt] c &\approx 5{,}49865. \end{aligned}
Comentário didático: esses valores significam que a melhor parábola em x^2 (com correção linear em y e termo constante) que aproxima os 7 pontos tem coeficiente de x^{2} negativo (abre para baixo), termo em y positivo, e constante aproximadamente 5{,}499.]

Passo 7

Calcular agora a previsão em (x,y)=(9,8). Primeiro compute x^{2}=9^{2}=81. Substituindo no modelo:
Z(9,8) = a\cdot 81 + b\cdot 8 + c.
Substituindo os valores obtidos:
\begin{aligned} a\cdot 81 &\approx -4{,}94821 \times 81 \approx -400{,}805,\\[4pt] b\cdot 8 &\approx 2{,}17397 \times 8 \approx 17{,}3918,\\[4pt] c &\approx 5{,}49865. \end{aligned}
Somando:
Z(9,8) \approx -400{,}805 + 17{,}3918 + 5{,}49865 \approx -377{,}9149.
Arredondando de forma compatível com os dados originais (uma casa decimal), isso dá Z(9,8)\approx -377{,}9.]

Resposta

-377{,}9

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