Q13: Em um determinado fenómeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependéncia é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parämetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
3
-32.9
-2
3
-8.3
-1
1
3.2
0
-1
4.1
1
-4
-8.7
2
-5
-25.9
3
-3
-44.6
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os paråmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(9,8). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestāo: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estiō disponíveis online.
Passo 1
O enunciado pede que se ajuste por mínimos quadrados os parâmetros a,b,c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c
a partir de 7 medições. Depois de ajustar os parâmetros, é pedido o valor previsto de Z no ponto (x,y)=(9,8).
Dados fornecidos (peguei todos os números do enunciado):
Encontrar a, b e c que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos entre Z observado e Z do modelo.
Calcular o valor previsto pelo modelo ajustado em (x,y)=(9,8).
Passo 2
Idéia do método (sem resolver ainda): para um modelo linear nos parâmetros (aqui os parâmetros aparecem linearmente, pois o termo em x é x^2 que é um dado conhecido), a solução dos mínimos quadrados vem das equações normais:
A^{T}A\,\theta = A^{T}z,
onde \theta=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix}, z é o vetor das medições de Z e a matriz de desenho A tem linhas \bigl[x^{2},\; y,\; 1\bigr] para cada medição.
Explicando passo a passo:
A é a matriz 7\times3 cujas linhas são \bigl[x_{i}^{2},\,y_{i},\,1\bigr].
A^{T}A é uma 3\times3 que contém somas de produtos dos regressores (por exemplo \sum x_i^4, \sum x_i^2 y_i, etc.).
A^{T}z é um vetor 3\times1 com as somas \sum x_i^2 Z_i, \sum y_i Z_i, \sum Z_i.
Resolver as equações normais dá os coeficientes \theta. Pode-se resolver por eliminação gaussiana ou usando software (planilha, Python, Octave, etc.). Eu usei uma resolução numérica para evitar aritmética excessivamente longa à mão; abaixo descrevo os cálculos fundamentais e mostro os resultados.]
Passo 3
Calcular os somatórios necessários (faço um pequeno quadro mental com x^2 também). Para cada ponto calculei x^2 e então as somas:
Valores de x^{2}: 9,\,4,\,1,\,0,\,1,\,4,\,9.
Somas relevantes (calculei diretamente a partir da tabela):
E as somas envolvendo Z (usei os valores de Z do enunciado):
\begin{aligned} \sum Z &= -113{,}1,\\[4pt] \sum x^{2}Z &= -839{,}8,\\[4pt] \sum yZ &= 173{,}6. \end{aligned}
Observação rápida sobre como se obtêm estes somatórios: por exemplo \sum x^{2}Z = \sum (x_i^2\cdot Z_i); para o primeiro ponto foi 9\cdot(-32{,}9)=-296{,}1 e assim por diante, somando tudo dá -839{,}8.]
Passo 4
Formo as equações normais. A matriz A^{T}A e o vetor A^{T}z ficam:
Como a resolução manual exata é trabalhosa (frações longas), resolvi o sistema numérico das equações normais com precisão suficiente (pode-se usar uma planilha ou Python). Antes de mostrar os números finais, resumo a forma de resolver à mão (se precisar aplicar na prova sem computador):
Aplicar eliminação gaussiana às equações normais: eliminar primeiro a primeira coluna nas linhas 2 e 3, depois eliminar a segunda coluna na terceira linha, obter sistema triangular superior e fazer retro-substituição.
Alternativamente, utilizar inversão da matriz A^{T}A (quando 3×3, possível manualmente) e multiplicar por A^{T}z.
Agora, usando cálculo numérico (planilha / Python) para obter valores com boa precisão, obtém-se os parâmetros.
Passo 6
Resultado do ajuste (valores encontrados para os parâmetros, arredondados com razoável precisão):
\begin{aligned} a &\approx -4{,}94821,\\[4pt] b &\approx 2{,}17397,\\[4pt] c &\approx 5{,}49865. \end{aligned}
Comentário didático: esses valores significam que a melhor parábola em x^2 (com correção linear em y e termo constante) que aproxima os 7 pontos tem coeficiente de x^{2} negativo (abre para baixo), termo em y positivo, e constante aproximadamente 5{,}499.]
Passo 7
Calcular agora a previsão em (x,y)=(9,8). Primeiro compute x^{2}=9^{2}=81. Substituindo no modelo: