Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. A imagem de uma reflexão não é subespaço vetorial
II. O conjunto solução do sistema linear homogèneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} nåo é um subespaco vetorial.
III. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=3 z-3 x\right\} é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira
(C) Só II é verdadeira
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são as informações dadas. O enunciado apresenta três afirmativas e pede para identificar quais são verdadeiras:
I. A imagem de uma reflexão não é subespaço vetorial.
II. O conjunto solução do sistema linear homogêneo \,A\vec{x}=\overrightarrow{0}\, não é um subespaço vetorial.
III. \displaystyle \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=3z-3x\} é subespaço vetorial.
O objetivo é decidir a veracidade de cada uma (verdadeira ou falsa) e assim escolher a alternativa correta entre (A) a (H).

Passo 2

Primeiro, vamos fixar o que significa dizer que um conjunto V\subseteq\mathbb{R}^n é um subespaço vetorial — isto é a ferramenta chave que vamos usar várias vezes.
Definição prática (fácil de aplicar na prova): um subconjunto V\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço vetorial se e somente se:
  1. \overrightarrow{0}\in V (contém o vetor zero);
  2. para quaisquer \vec{u},\vec{v}\in V, tem-se \vec{u}+\vec{v}\in V (fechado sob soma);
  3. para qualquer escalar c\in\mathbb{R} e qualquer \vec{u}\in V, tem-se c\vec{u}\in V (fechado sob multiplicação escalar).
Dica rápida para a prova: muitas vezes basta verificar que o conjunto é a solução de um sistema linear homogêneo (equação linear com lado direito zero) — nesse caso ele já é subespaço. Outra dica: se a condição é uma igualdade linear homogeneous em coordenadas (sem termo constante), isso sugere subespaço.

Passo 3

Análise da afirmativa I: “A imagem de uma reflexão não é subespaço vetorial.”
Primeiro precisamos entender o que é a imagem de uma reflexão. Se a reflexão for uma transformação linear R:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n (por exemplo, reflexão em relação a um subespaço que passa pela origem), então R é linear e a imagem \operatorname{Im}(R)=\{R(\vec{x})\mid \vec{x}\in\mathbb{R}^n\} é a imagem de uma transformação linear. Propriedade importante (simples de provar na prova): a imagem de uma transformação linear é sempre um subespaço vetorial. Prova curta:
  • Seja T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m linear e \vec{y}_1=T(\vec{x}_1),\\ \vec{y}_2=T(\vec{x}_2) vetores da imagem. Então \vec{y}_1+\vec{y}_2=T(\vec{x}_1)+T(\vec{x}_2)=T(\vec{x}_1+\vec{x}_2), que está na imagem; e para escalar c, c\vec{y}_1=cT(\vec{x}_1)=T(c\vec{x}_1), também na imagem. E T(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0}. Logo a imagem é subespaço.
    Logo, se “reflexão” for a reflexão linear usual (reflexão em um subespaço que passa pela origem), sua imagem é subespaço — portanto a afirmativa I, nesta interpretação natural, é falsa.
Observação sobre ambiguidade: se alguém interpretasse “reflexão” como uma reflexão afim cujo eixo NÃO passa pela origem, a transformação não é linear; mesmo assim, a imagem da transformação afim é todo \mathbb{R}^n (uma bijeção), que também é subespaço. Em qualquer interpretação razoável, a imagem não deixa de ser um subespaço. Conclusão prática: I é falsa.

Passo 4

Análise da afirmativa II: “O conjunto solução do sistema linear homogêneo \,A\vec{x}=\overrightarrow{0}\, não é um subespaço vetorial.”
Chave: o conjunto das soluções de um sistema homogêneo é exatamente o núcleo (nullspace) de A, denotado \ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n\mid A\vec{x}=\overrightarrow{0}\}.
Prova direta e curta de que \ker(A) é subespaço:
  • A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, então \overrightarrow{0}\in\ker(A).
  • Se \vec{u},\vec{v}\in\ker(A), então A(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, logo \vec{u}+\vec{v}\in\ker(A).
  • Se c\in\mathbb{R} e \vec{u}\in\ker(A), então A(c\vec{u})=cA\vec{u}=c\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, logo c\vec{u}\in\ker(A).
Portanto o conjunto solução de um sistema linear homogêneo é sempre um subespaço vetorial. A afirmativa II diz o contrário (“não é”), então II é falsa.

Passo 5

Análise da afirmativa III: \displaystyle S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=3z-3x\} é subespaço vetorial.
Vamos verificar as três propriedades diretamente (método robusto para a prova):
  1. Vetor zero: (0,0,0) satisfaz 0=3\cdot 0-3\cdot 0, logo \overrightarrow{0}\in S.
  2. Fechamento sob soma: tome \vec{u}=(x_1,y_1,z_1)\in S e \vec{v}=(x_2,y_2,z_2)\in S. Então
y_1=3z_1-3x_1,\qquad y_2=3z_2-3x_2.
Somando as componentes y:
y_1+y_2=3(z_1+z_2)-3(x_1+x_2).
Assim \vec{u}+\vec{v}=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2) satisfaz a relação y=3z-3x, logo \vec{u}+\vec{v}\in S.
  1. Fechamento sob multiplicação escalar: tome c\in\mathbb{R} e \vec{u}=(x_1,y_1,z_1)\in S. Então
y_1=3z_1-3x_1 \quad\Rightarrow\quad c y_1 = 3(c z_1)-3(c x_1),
portanto c\vec{u}=(c x_1, c y_1, c z_1) também satisfaz y=3z-3x, logo c\vec{u}\in S.
Como as três propriedades valem, S é subespaço vetorial. Alternativa curta que dá a mesma conclusão na prova: a condição y=3z-3x é uma equação linear homogênea nas coordenadas (pode ser escrita como y+3x-3z=0), e o conjunto de soluções de uma equação linear homogênea é subespaço.
Portanto III é verdadeira.

Passo 6

Resumo das conclusões sobre as três afirmativas:
  • I é falsa.
  • II é falsa.
  • III é verdadeira.
Isto significa que, entre as alternativas dadas, apenas a afirmativa III é verdadeira.

Resposta

(E)

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