Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. A imagem de uma reflexão não é subespaço vetorial
II. O conjunto solução do sistema linear homogèneo
nåo é um subespaco vetorial.
III.
é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira
(C) Só II é verdadeira
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras
I. A imagem de uma reflexão não é subespaço vetorial
II. O conjunto solução do sistema linear homogèneo
III.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira
(C) Só II é verdadeira
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são as informações dadas. O enunciado apresenta três afirmativas e pede para identificar quais são verdadeiras:
I. A imagem de uma reflexão não é subespaço vetorial.
II. O conjunto solução do sistema linear homogêneo não é um subespaço vetorial.
III. é subespaço vetorial.
II. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
III.
O objetivo é decidir a veracidade de cada uma (verdadeira ou falsa) e assim escolher a alternativa correta entre (A) a (H).
Passo 2
Primeiro, vamos fixar o que significa dizer que um conjunto
é um subespaço vetorial — isto é a ferramenta chave que vamos usar várias vezes.
Definição prática (fácil de aplicar na prova): um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se:
-
(contém o vetor zero); - para quaisquer
, tem-se (fechado sob soma); - para qualquer escalar
e qualquer , tem-se (fechado sob multiplicação escalar).
Dica rápida para a prova: muitas vezes basta verificar que o conjunto é a solução de um sistema linear homogêneo (equação linear com lado direito zero) — nesse caso ele já é subespaço. Outra dica: se a condição é uma igualdade linear homogeneous em coordenadas (sem termo constante), isso sugere subespaço.
Passo 3
Análise da afirmativa I: “A imagem de uma reflexão não é subespaço vetorial.”
Primeiro precisamos entender o que é a imagem de uma reflexão. Se a reflexão for uma transformação linear
(por exemplo, reflexão em relação a um subespaço que passa pela origem), então
é linear e a imagem
é a imagem de uma transformação linear. Propriedade importante (simples de provar na prova): a imagem de uma transformação linear é sempre um subespaço vetorial. Prova curta:
- Seja
linear e vetores da imagem. Então , que está na imagem; e para escalar , , também na imagem. E . Logo a imagem é subespaço.
Logo, se “reflexão” for a reflexão linear usual (reflexão em um subespaço que passa pela origem), sua imagem é subespaço — portanto a afirmativa I, nesta interpretação natural, é falsa.
Observação sobre ambiguidade: se alguém interpretasse “reflexão” como uma reflexão afim cujo eixo NÃO passa pela origem, a transformação não é linear; mesmo assim, a imagem da transformação afim é todo
(uma bijeção), que também é subespaço. Em qualquer interpretação razoável, a imagem não deixa de ser um subespaço. Conclusão prática: I é falsa.
Passo 4
Análise da afirmativa II: “O conjunto solução do sistema linear homogêneo
não é um subespaço vetorial.”
Chave: o conjunto das soluções de um sistema homogêneo é exatamente o núcleo (nullspace) de
, denotado
.
Prova direta e curta de que
é subespaço:
-
, então . - Se
, então , logo . - Se
e , então , logo .
Portanto o conjunto solução de um sistema linear homogêneo é sempre um subespaço vetorial. A afirmativa II diz o contrário (“não é”), então II é falsa.
Passo 5
Análise da afirmativa III:
é subespaço vetorial.
Vamos verificar as três propriedades diretamente (método robusto para a prova):
-
Vetor zero:
satisfaz , logo . -
Fechamento sob soma: tome
e . Então
Somando as componentes
:
Assim
satisfaz a relação
, logo
.
- Fechamento sob multiplicação escalar: tome
e . Então
portanto
também satisfaz
, logo
.
Como as três propriedades valem,
é subespaço vetorial. Alternativa curta que dá a mesma conclusão na prova: a condição
é uma equação linear homogênea nas coordenadas (pode ser escrita como
), e o conjunto de soluções de uma equação linear homogênea é subespaço.
Portanto III é verdadeira.
Passo 6
Resumo das conclusões sobre as três afirmativas:
- I é falsa.
- II é falsa.
- III é verdadeira.
Isto significa que, entre as alternativas dadas, apenas a afirmativa III é verdadeira.
Resposta
(E)