Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=-6 x^{2}+2 x-3 sobre \mathcal{P}_{1}.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p e de a x+b, para diversos valores de a e b. O observe que a melhor aproximação de p no intervalo [0,1] por um polinômio da forma a x+b é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação seria outra).
(A) -4 x-2
(B) -4 x-3
(C) 2 x-3
(D) -x-2
(E) -x-3
(F) 2 x-2
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a projeção ortogonal de p(x)=-6x^{2}+2x-3 sobre \mathcal{P}_{1} (o subespaço dos polinômios de grau \le 1) quando o produto interno é
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx.
Informações dadas:
O polinômio a ser projetado é p(x)=-6x^{2}+2x-3.
O subespaço alvo é \mathcal{P}_{1}=\{ax+b \mid a,b\in\mathbb{R}\}.
O produto interno é a integral no intervalo [0,1].
Passo 2
Idea/definição que vamos usar (explicadinha): a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1} é o polinômio q\in\mathcal{P}_{1} tal que o erro p-q é ortogonal a todo vetor de \mathcal{P}_{1}. Em linguagem de produto interno, isso significa
\langle p-q, r\rangle=0\quad\text{para todo }r\in\mathcal{P}_{1}.
Como \mathcal{P}_{1} é gerado pela base \{1,x\}, basta exigir ortogonalidade a 1 e a x, isto é:
Temos o sistema linear em a,b\):
\[\begin{cases} \displaystyle \frac{a}{2}+b=-4,\\[6pt] \displaystyle \frac{a}{3}+\frac{b}{2}=-\frac{7}{3}. \end{cases}
Multiplicando a primeira equação por 2\] e a segunda por \[6 para eliminar denominadores:
Resolvendo: da primeira a=-8-2b\]. Substituindo na segunda:
\[2(-8-2b)+3b=-14\\ \Rightarrow\\\ -16-4b+3b=-14\\ \Rightarrow\\\ -b=2\\ \Rightarrow\\ b=-2.\]
Então \(a=-8-2(-2)=-8+4=-4.]
Passo 7
Interpretando os resultados: os coeficientes do polinômio de \mathcal{P}_{1} que é a projeção ortogonal são a=-4 e b=-2. Assim a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1} é o polinômio ax+b com esses coeficientes.