Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=-6 x^{2}+2 x-3 sobre \mathcal{P}_{1}.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p e de a x+b, para diversos valores de a e b. O observe que a melhor aproximação de p no intervalo [0,1] por um polinômio da forma a x+b é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação seria outra).
(A) -4 x-2
(B) -4 x-3
(C) 2 x-3
(D) -x-2
(E) -x-3
(F) 2 x-2

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a projeção ortogonal de p(x)=-6x^{2}+2x-3 sobre \mathcal{P}_{1} (o subespaço dos polinômios de grau \le 1) quando o produto interno é
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx.
Informações dadas:
  • O polinômio a ser projetado é p(x)=-6x^{2}+2x-3.
  • O subespaço alvo é \mathcal{P}_{1}=\{ax+b \mid a,b\in\mathbb{R}\}.
  • O produto interno é a integral no intervalo [0,1].

Passo 2

Idea/definição que vamos usar (explicadinha): a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1} é o polinômio q\in\mathcal{P}_{1} tal que o erro p-q é ortogonal a todo vetor de \mathcal{P}_{1}. Em linguagem de produto interno, isso significa
\langle p-q, r\rangle=0\quad\text{para todo }r\in\mathcal{P}_{1}.
Como \mathcal{P}_{1} é gerado pela base \{1,x\}, basta exigir ortogonalidade a 1 e a x, isto é:
\langle p-q,1\rangle=0,\qquad \langle p-q,x\rangle=0.
Esse sistema determina unicamente os coeficientes a e b de q(x)=ax+b.

Passo 3

Escrevendo q(x)=ax+b, as condições acima ficam (colocando as integrais explícitas):
\int_{0}^{1} \big(p(x)-ax-b\big)\,dx=0, \qquad \int_{0}^{1} \big(p(x)-ax-b\big)x\,dx=0.
Vamos calcular cada integral passo a passo para obter um sistema linear em a e b.

Passo 4

Calcular a primeira integral. Primeiro a integral de p:
\int_{0}^{1} p(x)\,dx=\int_{0}^{1}(-6x^{2}+2x-3)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}-6x^{2}\,dx=-6\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1}=-2,
\int_{0}^{1}2x\,dx=2\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1}=1,
\int_{0}^{1}-3\,dx=-3x\Big|_{0}^{1}=-3.
Somando:
\int_{0}^{1} p(x)\,dx=-2+1-3=-4.
Agora a integral de ax+b em [0,1] é
\int_{0}^{1}(ax+b)\,dx=a\cdot\frac{1}{2}+b.
A condição \int_{0}^{1}(p- q)=0 dá:
-4-\left(a\cdot\frac{1}{2}+b\right)=0.
Isolando:
\frac{a}{2}+b=-4.

Passo 5

Calcular a segunda integral. Primeiro \int_{0}^{1} p(x)\,x\,dx:
\int_{0}^{1}p(x)x\,dx=\int_{0}^{1}(-6x^{3}+2x^{2}-3x)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}-6x^{3}\,dx=-6\cdot\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{1}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2},
\int_{0}^{1}2x^{2}\,dx=2\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1}=\frac{2}{3},
\int_{0}^{1}-3x\,dx=-3\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1}=-\frac{3}{2}.
Somando:
\int_{0}^{1} p(x)x\,dx=-\frac{3}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{2}=-3+\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}.
Agora a integral de (ax+b)x é
\int_{0}^{1}(ax+b)x\,dx=\int_{0}^{1}(a x^{2}+b x)\,dx=a\cdot\frac{1}{3}+b\cdot\frac{1}{2}.
A condição \int_{0}^{1}(p-q)x=0 dá:
-\frac{7}{3}-\left(a\cdot\frac{1}{3}+b\cdot\frac{1}{2}\right)=0,
ou seja
\frac{a}{3}+\frac{b}{2}=-\frac{7}{3}.

Passo 6

Temos o sistema linear em a,b\): \[\begin{cases} \displaystyle \frac{a}{2}+b=-4,\\[6pt] \displaystyle \frac{a}{3}+\frac{b}{2}=-\frac{7}{3}. \end{cases}
Multiplicando a primeira equação por 2\] e a segunda por \[6 para eliminar denominadores:
\begin{cases} a+2b=-8,\\[4pt] 2a+3b=-14. \end{cases}
Resolvendo: da primeira a=-8-2b\]. Substituindo na segunda: \[2(-8-2b)+3b=-14\\ \Rightarrow\\\ -16-4b+3b=-14\\ \Rightarrow\\\ -b=2\\ \Rightarrow\\ b=-2.\] Então \(a=-8-2(-2)=-8+4=-4.]

Passo 7

Interpretando os resultados: os coeficientes do polinômio de \mathcal{P}_{1} que é a projeção ortogonal são a=-4 e b=-2. Assim a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1} é o polinômio ax+b com esses coeficientes.

Resposta

-4x-2

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