Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I.
é subespaço vetorial.
II. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.
III. O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I.
II. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
III. O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
São dadas três afirmativas e pede-se identificar quais são verdadeiras:
I.é subespaço vetorial.
II. O conjunto solução do sistema linear homogêneoé um subespaço vetorial.
III. O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial. -
A pergunta final é escolher a alternativa correta entre as opções (A) a (H).
Passo 2
Relembrando o conceito importante (a pequena “aula” que preciso te dar para resolver isso):
-
Definição de subespaço vetorial: um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço se: -
(contém o vetor zero), - se
então (fechado sob soma), - se
e então (fechado sob multiplicação escalar).
-
-
Resultado útil: para uma transformação linear
, o núcleo satisfaz automaticamente as condições acima, logo é sempre um subespaço de . Vou usar esse fato explicitamente nas análises.
Passo 3
Analisando a afirmativa I:
-
Defina o conjuntoPosso reescrever qualquer vetor em
como Isso mostra queé o conjunto de todos os vetores parametrizados por e : -
Verificação direta das 3 condições de subespaço:
- Vetor zero: escolhendo
e obtemos . - Fechamento por soma: sejam
e em . Sua soma é que tem a forma exigida com parâmetros e , portanto pertence a . - Fechamento por escalares: para
, que está em .
- Vetor zero: escolhendo
-
Observação alternativa (mais elegante):
é o núcleo da forma linear dada por . De fato, . Como núcleo de transformação linear, é subespaço. Ambas as abordagens mostram que I é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmativa II:
- O conjunto solução do sistema homogêneo
é exatamente o núcleo da transformação linear . - Pelo resultado geral citado antes, o núcleo de uma transformação linear é sempre um subespaço: contém o zero (pois
), e se e então e . - Portanto a afirmativa II é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmativa III:
- Primeiro, “núcleo” refere-se ao kernel de uma transformação linear. Uma reflexão linear
(por exemplo, reflexão em relação a um plano ou reta) é uma transformação linear. O núcleo é, como já dito, sempre um subespaço (isso vale para qualquer transformação linear). - Além disso, uma reflexão típica é invertível (pois
, já que refletir duas vezes devolve o vetor original). Uma transformação invertível tem núcleo . O conjunto é um subespaço (o subespaço trivial). - Exemplo concreto: reflexão em relação ao eixo
em tem matriz . Seu núcleo é , que é subespaço. - Logo a afirmação “O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial” é falsa (o núcleo é um subespaço, mesmo que trivial). Portanto III é falsa.
Passo 6
Conclusão combinando os resultados:
- I é verdadeira.
- II é verdadeira.
- III é falsa.
Logo a alternativa correta é a que diz “Só I e II são verdadeiras.”
Resposta
(D)