Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=5 z-5 y\right\} é subespaço vetorial.
II. O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
III. O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • São dadas três afirmativas e pede-se identificar quais são verdadeiras:
    I. \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=5z-5y\} é subespaço vetorial.
    II. O conjunto solução do sistema linear homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
    III. O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial.
  • A pergunta final é escolher a alternativa correta entre as opções (A) a (H).

Passo 2

Relembrando o conceito importante (a pequena “aula” que preciso te dar para resolver isso):
  • Definição de subespaço vetorial: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se:
    1. \overrightarrow{0}\in W (contém o vetor zero),
    2. se u,v\in W então u+v\in W (fechado sob soma),
    3. se u\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha u\in W (fechado sob multiplicação escalar).
  • Resultado útil: para uma transformação linear T:V\to W, o núcleo \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\} satisfaz automaticamente as condições acima, logo é sempre um subespaço de V. Vou usar esse fato explicitamente nas análises.

Passo 3

Analisando a afirmativa I:
  • Defina o conjunto
    S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=5z-5y\}.
    Posso reescrever qualquer vetor em S como
    (x,y,z)=(5z-5y,\;y,\;z).
    Isso mostra que S é o conjunto de todos os vetores parametrizados por y e z:
    S=\{(5z-5y,\;y,\;z)\mid y,z\in\mathbb{R}\}.
  • Verificação direta das 3 condições de subespaço:
    1. Vetor zero: escolhendo y=0 e z=0 obtemos (0,0,0)\in S.
    2. Fechamento por soma: sejam (5z_1-5y_1,y_1,z_1) e (5z_2-5y_2,y_2,z_2) em S. Sua soma é (5(z_1+z_2)-5(y_1+y_2),\;y_1+y_2,\;z_1+z_2),que tem a forma exigida com parâmetros y_1+y_2 e z_1+z_2, portanto pertence a S.
    3. Fechamento por escalares: para \alpha\in\mathbb{R}, \alpha(5z-5y,y,z)=(5(\alpha z)-5(\alpha y),\;\alpha y,\;\alpha z),que está em S.
  • Observação alternativa (mais elegante): S é o núcleo da forma linear f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} dada por f(x,y,z)=x+5y-5z. De fato, S=\ker(f)=\{v\mid f(v)=0\}. Como núcleo de transformação linear, S é subespaço. Ambas as abordagens mostram que I é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmativa II:
  • O conjunto solução do sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} é exatamente o núcleo da transformação linear T(\vec{x})=A\vec{x}.
  • Pelo resultado geral citado antes, o núcleo de uma transformação linear é sempre um subespaço: contém o zero (pois A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}), e se A u=\overrightarrow{0} e A v=\overrightarrow{0} então A(u+v)=Au+Av=\overrightarrow{0} e A(\alpha u)=\alpha Au=\overrightarrow{0}.
  • Portanto a afirmativa II é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmativa III:
  • Primeiro, “núcleo” refere-se ao kernel de uma transformação linear. Uma reflexão linear R:V\to V (por exemplo, reflexão em relação a um plano ou reta) é uma transformação linear. O núcleo \ker(R)=\{v\in V\mid R(v)=0\} é, como já dito, sempre um subespaço (isso vale para qualquer transformação linear).
  • Além disso, uma reflexão típica é invertível (pois R^{-1}=R, já que refletir duas vezes devolve o vetor original). Uma transformação invertível tem núcleo \{0\}. O conjunto \{0\} é um subespaço (o subespaço trivial).
  • Exemplo concreto: reflexão em relação ao eixo x em \mathbb{R}^2 tem matriz \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix}. Seu núcleo é \{(0,0)\}, que é subespaço.
  • Logo a afirmação “O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial” é falsa (o núcleo é um subespaço, mesmo que trivial). Portanto III é falsa.

Passo 6

Conclusão combinando os resultados:
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.
  • III é falsa.
Logo a alternativa correta é a que diz “Só I e II são verdadeiras.”

Resposta

(D)

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