Q14: Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um múltiplo de
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com o produto interno
e fornece os polinômios
e
.
A pergunta é: qual é a projeção ortogonal de na reta gerada por
? Ou seja, qual é o polinômio da forma
que é a projeção de
sobre
.
A pergunta é: qual é a projeção ortogonal de
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada): a projeção ortogonal de um vetor
sobre a reta gerada por um vetor
no espaço com produto interno
é
Aqui
é um número (produto interno entre
e
),
é o quadrado da norma de
(também um número). O quociente é o escalar
tal que
é a projeção. Intuição rápida: esse
é escolhido para que
seja ortogonal a
, minimizando a distância entre
e múltiplos de
.
Passo 3
Calcular o numerador
. Primeiro expandimos o produto
:
Fazendo a multiplicação termo a termo:
Agora integramos de
a
:
Integramos cada termo:
Somando:
(Usei denominador comum
:
.)
Passo 4
Calcular o denominador
:
Integramos termo a termo:
Somando:
Passo 5
Calcular o escalar da projeção:
Portanto a projeção é
Multiplicando e simplificando frações:
Logo a projeção é
Passo 6
Comparando com as alternativas dadas, a opção que coincide é a (F), que apresenta exatamente
Resposta
(F)