Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de
p(x)=x^{2}+3 x-4 na reta gerada por
q(x)=2 x-2.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de x^{2}+3 x-4 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 2 x-2 é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) \frac{17 x}{4}-\frac{17}{4}
(B) \frac{17 x^{2}}{8}+\frac{51 x}{8}-\frac{17}{2}
(C) \frac{7 x}{2}-\frac{7}{2}
(D) 4 x-4
(E) \frac{7 x^{2}}{4}+\frac{21 x}{4}-7
(F) \frac{15 x^{2}}{8}+\frac{45 x}{8}-\frac{15}{2}
(G) \frac{15 x}{4}-\frac{15}{4}
(H) 2 x^{2}+6 x-8

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial \mathcal{P}_{2} com o produto interno
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx,
e pede a projeção ortogonal de p(x)=x^{2}+3x-4 na reta gerada por q(x)=2x-2.
Informações relevantes dadas:
p(x)=x^{2}+3x-4,\qquad q(x)=2x-2,\qquad \text{produto interno } \langle\cdot,\cdot\rangle=\int_{0}^{1}(\cdot)(\cdot)\,dx.

Passo 2

Fórmula da projeção ortogonal em uma reta gerada por um vetor q: se queremos projetar p sobre \operatorname{span}\{q\}, a projeção é o múltiplo escalar de q
\operatorname{proj}_{\langle q\rangle} p = c\,q
onde c é escolhido de forma que p-cq seja ortogonal a q. Isso dá a condição
\langle p-cq, q\rangle=0 \quad\Rightarrow\quad c=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}.
Explicando rapidamente: queremos o número c que minimiza a distância entre p e os múltiplos de q; a condição de mínimo equivale a exigir ortogonalidade do erro p-cq com q.

Passo 3

Calcular \langle p,q\rangle. Primeiro multiplicamos os polinômios:
p(x)q(x)=(x^{2}+3x-4)(2x-2)=2x^{3}+4x^{2}-14x+8.
Agora integramos termo a termo em [0,1]:
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}(2x^{3}+4x^{2}-14x+8)\,dx.
Calculemos cada integral:
\int_{0}^{1}2x^{3}\,dx=\left.\frac{1}{2}x^{4}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2},
\int_{0}^{1}4x^{2}\,dx=\left.\frac{4}{3}x^{3}\right|_{0}^{1}=\frac{4}{3},
\int_{0}^{1}-14x\,dx=\left.-7x^{2}\right|_{0}^{1}=-7,
\int_{0}^{1}8\,dx=\left.8x\right|_{0}^{1}=8.
Somando:
\langle p,q\rangle=\frac{1}{2}+\frac{4}{3}-7+8=\frac{17}{6}.

Passo 4

Calcular \langle q,q\rangle. Escrevemos e expandimos:
q(x)^{2}=(2x-2)^{2}=4(x-1)^{2}=4(x^{2}-2x+1).
Integramos em [0,1]:
\langle q,q\rangle=\int_{0}^{1}4(x^{2}-2x+1)\,dx=4\left(\frac{1}{3}-1+1\right)=4\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.

Passo 5

Calcular o coeficiente c:
c=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle=\frac{4}{3}}=\frac{\frac{17}{6}}{\frac{4}{3}}=\frac{17}{6}\cdot\frac{3}{4}=\frac{17}{8}.

Passo 6

A projeção é c\,q(x). Multiplicando:
\operatorname{proj}_{\langle q\rangle} p(x)=\frac{17}{8}(2x-2)=\frac{17}{4}x-\frac{17}{4}.
Interpretação curta (útil para motivação): esse polinômio é o múltiplo de q que minimiza a norma (induzida pelo produto interno) de p-cq em [0,1]. Se for útil para entender, você pode plotar p(x) e vários k\,q(x) e ver que o melhor ajuste (no sentido L^2 em [0,1]) é exatamente este.

Resposta

(A) \frac{17 x}{4}-\frac{17}{4}

Exercícios relacionados