Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=x^{2}+3 x-4 na reta gerada por q(x)=2 x-2.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de x^{2}+3 x-4 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 2 x-2 é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) \frac{17 x}{4}-\frac{17}{4}
(B) \frac{17 x^{2}}{8}+\frac{51 x}{8}-\frac{17}{2}
(C) \frac{7 x}{2}-\frac{7}{2}
(D) 4 x-4
(E) \frac{7 x^{2}}{4}+\frac{21 x}{4}-7
(F) \frac{15 x^{2}}{8}+\frac{45 x}{8}-\frac{15}{2}
(G) \frac{15 x}{4}-\frac{15}{4}
(H) 2 x^{2}+6 x-8
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial \mathcal{P}_{2} com o produto interno
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx,
e pede a projeção ortogonal de p(x)=x^{2}+3x-4 na reta gerada por q(x)=2x-2.
Informações relevantes dadas:
Fórmula da projeção ortogonal em uma reta gerada por um vetor q: se queremos projetar p sobre \operatorname{span}\{q\}, a projeção é o múltiplo escalar de q
\operatorname{proj}_{\langle q\rangle} p = c\,q
onde c é escolhido de forma que p-cq seja ortogonal a q. Isso dá a condição
Explicando rapidamente: queremos o número c que minimiza a distância entre p e os múltiplos de q; a condição de mínimo equivale a exigir ortogonalidade do erro p-cq com q.
Passo 3
Calcular \langle p,q\rangle. Primeiro multiplicamos os polinômios:
Interpretação curta (útil para motivação): esse polinômio é o múltiplo de q que minimiza a norma (induzida pelo produto interno) de p-cq em [0,1]. Se for útil para entender, você pode plotar p(x) e vários k\,q(x) e ver que o melhor ajuste (no sentido L^2 em [0,1]) é exatamente este.