Q14: Qual das seguintes equações cartesianas pode representar, para alguma escolha apropriada das constantes c e d, o plano em \mathbb{R}^{3} que contém os pontos (1,0,-2),(2,1,-7) e (-3,0,7) ?
(A) 9 x+12 y+c z=d
(B) 9 x+11 y+c z=d
(C) 9 x-12 y+c z=d
(D) 9 x-11 y+c z=d
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano em \mathbb{R}^3 que passa pelos pontos
P_1=(1,0,-2),\quad P_2=(2,1,-7),\quad P_3=(-3,0,7)
e nos dá quatro formatos possíveis da forma
9x + b\,y + c\,z = d
com b\in\{12,11,-12,-11\} e c,d a escolher. Vamos testar a condição de que os três pontos satisfaçam essa equação e ver qual valor de b (e, consequentemente, c,d) é viável.

Passo 2

Substituindo P_1 em
9x + b\,y + c\,z = d
vem
9\cdot1 + b\cdot0 + c\cdot(-2) = d \;\Longrightarrow\; 9 - 2c = d.
Substituindo P_2 em
9\cdot2 + b\cdot1 + c\cdot(-7) = d \;\Longrightarrow\; 18 + b - 7c = d.
Igualando as duas expressões para d:
9 - 2c = 18 + b - 7c \;\Longrightarrow\; 5c = 9 + b \;\Longrightarrow\; c = \frac{9+b}{5}.
E então
d = 9 - 2c.

Passo 3

Agora exigimos que P_3 também satisfaça
9\cdot(-3) + b\cdot0 + c\cdot7 = d.
Isto é,
-27 + 7c = d = 9 - 2c \;\Longrightarrow\; 9c = 36 \;\Longrightarrow\; c = 4.
Comparando com c = (9+b)/5, temos
4 = \frac{9+b}{5} \;\Longrightarrow\; 9 + b = 20 \;\Longrightarrow\; b = 11.

Passo 4

Portanto só funciona quando b=11, que corresponde à alternativa (B).

Resposta

(B)

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