Q15: O conjunto-solução do sistema abaixo é igual ao de qual sistema dentre as opções?
\left[\begin{array}{rrrr|r}1 & 0 & 2 & -1 & 10 \\\\ 2 & 0 & 2 & -3 & 16 \\\\ -1 & 0 & -6 & 0 & -20 \\\\ 1 & 0 & 4 & 0 & 14\end{array}\right]
(A) \left[\begin{array}{llll|r}1 & 0 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{rrrr|r}1 & 0 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{llll|r}1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{rrrr|r}1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com quatro incógnitas (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) representado pela matriz aumentada
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 0 & 2 & -1 & 10\\\\ 2 & 0 & 2 & -3 & 16\\\\ -1 & 0 & -6 & 0 & -20\\\\ 1 & 0 & 4 & 0 & 14 \end{array}\right]
e pede identificar, entre as opções dadas, qual outro sistema tem o mesmo conjunto-solução. Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar esse conjunto.

Passo 2

Traduzimos linha a linha em equações:
\text{(1)}\;x_{1}+2x_{3}-x_{4}=10
\text{(2)}\;2x_{1}+2x_{3}-3x_{4}=16
\text{(3)}\;-x_{1}-6x_{3}= -20
\text{(4)}\;x_{1}+4x_{3}=14
Observamos que x_{2} não aparece em nenhuma equação, logo é variável livre.

Passo 3

Isolamos x_{1} na equação (1):
x_{1}=10-2x_{3}+x_{4}.
Substituímos esse valor em (2) e em (3):
2\bigl(10-2x_{3}+x_{4}\bigr)+2x_{3}-3x_{4}=16 \quad\Longrightarrow\quad 2x_{3}+x_{4}=4,
-\bigl(10-2x_{3}+x_{4}\bigr)-6x_{3}=-20 \quad\Longrightarrow\quad 4x_{3}+x_{4}=10.
A substituição em (4) reconfirma 2x_{3}+x_{4}=4.

Passo 4

Denotando
\text{(A)}\;2x_{3}+x_{4}=4
\text{(B)}\;4x_{3}+x_{4}=10
subtraímos (A) de (B) para eliminar x_{4}:
(4x_{3}+x_{4})-(2x_{3}+x_{4})=10-4 \quad\Longrightarrow\quad 2x_{3}=6 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=3.
Então de (A) segue x_{4}=4-2\cdot3=-2.

Passo 5

Com x_{3}=3 e x_{4}=-2 na expressão de x_{1}:
x_{1}=10-2\cdot3+(-2)=10-6-2=2.

Passo 6

Temos x_{1}=2, x_{3}=3, x_{4}=-2 e x_{2} livre. Assim o conjunto-solução é
\{(2,\,t,\,3,\,-2)\mid t\in\mathbb{R}\}.

Passo 7

A forma reduzida associada é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right],
com x_{2} livre. Comparando com as opções, corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D)

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