Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 6. Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo conjunto gerador de V com 6 vetores é uma base de V.
II - Todo conjunto gerador de V possui no máximo 6 vetores.
III - Todo subconjunto de V com menos do que 6 vetores é LI.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão \dim(V)=6. Precisamos avaliar três afirmativas sobre conjuntos geradores e independência em V, usando a teoria de dimensão, bases, geradores e independência linear.

Passo 2

Teoremas fundamentais para espaços vetoriais finito-dimensionais:
  1. Em um espaço de dimensão n, toda base possui exatamente n vetores.
  2. Se um conjunto gera o espaço e tem exatamente n vetores, então ele é automaticamente linearmente independente e, portanto, base.
  3. Conjuntos linearmente independentes não podem ter mais de n vetores.
  4. Conjuntos geradores podem ter cardinalidade maior que n (basta adicionar vetores redundantes).
  5. Conjuntos com menos de n vetores podem ou não ser independentes—não há garantia de independência a menos de conhecer sua estrutura.

Passo 3

Analisando I: “Todo conjunto gerador de V com 6 vetores é uma base de V.”
Pelo item 2 acima, se um conjunto gera V e tem exatamente \dim(V)=6 vetores, ele é linearmente independente e, logo, base.
Portanto, I é verdadeira.

Passo 4

Analisando II: “Todo conjunto gerador de V possui no máximo 6 vetores.”
Pelo item 4 acima, podemos ter conjuntos geradores com mais de 6 vetores (basta pegar uma base e adicionar vetores redundantes). Logo, não há limite máximo de 6; II é falsa.

Passo 5

Analisando III: “Todo subconjunto de V com menos do que 6 vetores é LI.”
Pelo item 5 acima, mesmo conjuntos com menos de 6 vetores podem ser linearmente dependentes (basta escolher vetores que se combinem). Logo, III é falsa.

Resposta

(B) Apenas I é verdadeira.

Exercícios relacionados