Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 6. Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo conjunto gerador de
com 6 vetores é uma base de
.
II - Todo conjunto gerador de
possui no máximo 6 vetores.
III - Todo subconjunto de
com menos do que 6 vetores é LI.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I - Todo conjunto gerador de
II - Todo conjunto gerador de
III - Todo subconjunto de
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas I e II são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas I e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão
. Precisamos avaliar três afirmativas sobre conjuntos geradores e independência em
, usando a teoria de dimensão, bases, geradores e independência linear.
Passo 2
Teoremas fundamentais para espaços vetoriais finito-dimensionais:
- Em um espaço de dimensão
, toda base possui exatamente vetores. - Se um conjunto gera o espaço e tem exatamente
vetores, então ele é automaticamente linearmente independente e, portanto, base. - Conjuntos linearmente independentes não podem ter mais de
vetores. - Conjuntos geradores podem ter cardinalidade maior que
(basta adicionar vetores redundantes). - Conjuntos com menos de
vetores podem ou não ser independentes—não há garantia de independência a menos de conhecer sua estrutura.
Passo 3
Analisando I: “Todo conjunto gerador de
com 6 vetores é uma base de
.”
Pelo item 2 acima, se um conjunto gera e tem exatamente
vetores, ele é linearmente independente e, logo, base.
Portanto, I é verdadeira.
Pelo item 2 acima, se um conjunto gera
Portanto, I é verdadeira.
Passo 4
Analisando II: “Todo conjunto gerador de
possui no máximo 6 vetores.”
Pelo item 4 acima, podemos ter conjuntos geradores com mais de 6 vetores (basta pegar uma base e adicionar vetores redundantes). Logo, não há limite máximo de 6; II é falsa.
Pelo item 4 acima, podemos ter conjuntos geradores com mais de 6 vetores (basta pegar uma base e adicionar vetores redundantes). Logo, não há limite máximo de 6; II é falsa.
Passo 5
Analisando III: “Todo subconjunto de
com menos do que 6 vetores é LI.”
Pelo item 5 acima, mesmo conjuntos com menos de 6 vetores podem ser linearmente dependentes (basta escolher vetores que se combinem). Logo, III é falsa.
Pelo item 5 acima, mesmo conjuntos com menos de 6 vetores podem ser linearmente dependentes (basta escolher vetores que se combinem). Logo, III é falsa.
Resposta
(B) Apenas I é verdadeira.