Q15: Seja p(x)=-5+9 x-10 x^{2} e
\beta=\left\{-1+2 x-2 x^{2}, \quad-1+4 x+4 x^{2}, \quad-1+3 x+2 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -2
(B) -1
(C) 2
(D) -3
(E) -4
(F) 4
(G) 3
(H) 1

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x) = -5 + 9x - 10x^2
e a base
\beta = \{\,v_1 = -1 + 2x - 2x^2,\;v_2 = -1 + 4x + 4x^2,\;v_3 = -1 + 3x + 2x^2\}
do espaço dos polinômios de grau até 2. Queremos expressar
p(x) = a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3
e encontrar a coordenada c.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e comparando coeficientes no monômio 1, x e x^2, temos
a(-1) + b(-1) + c(-1) = -5,
a\cdot2 + b\cdot4 + c\cdot3 = 9,
a(-2) + b\cdot4 + c\cdot2 = -10.

Passo 3

Simplificando cada equação (multiplicando a primeira por -1):
a + b + c = 5, \tag{1}
2a +4b +3c = 9, \tag{2}
-2a+4b +2c = -10. \tag{3}

Passo 4

Da equação (1) isolamos
a = 5 - b - c.
Substituindo em (2):
2(5 - b - c) +4b +3c = 9 \;\Longrightarrow\; 10 -2b -2c +4b +3c = 9 \;\Longrightarrow\; 2b + c = -1. \tag{4}
E em (3):
-2(5 - b - c) +4b +2c = -10 \;\Longrightarrow\; -10 +2b +2c +4b +2c = -10 \;\Longrightarrow\; 6b +4c = 0. \tag{5}

Passo 5

Resolvendo o sistema formado por (4) e (5):
de (4) segue b = \frac{-1 - c}{2}.
Substituindo em (5):
6\Bigl(\frac{-1 - c}{2}\Bigr) +4c = 0 \;\Longrightarrow\; -3 -3c +4c = 0 \;\Longrightarrow\; c = 3.

Resposta

c = 3

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