Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo:
I. Todo subconjunto LI de
com 4 vetores é uma base de
.
II. Todo subconjunto LI de
possui no máximo 4 vetores.
III. Todo subconjunto de
com mais do que 4 vetores gera
.
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só I e II são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Só I é verdadeira.
(F) Só II e III são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Todas são verdadeiras.
I. Todo subconjunto LI de
II. Todo subconjunto LI de
III. Todo subconjunto de
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só I e II são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Só I é verdadeira.
(F) Só II e III são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado nos diz que
é um espaço vetorial com
. Pede para analisar a veracidade das afirmativas:
I. Todo subconjunto LI de com 4 vetores é uma base de
.
II. Todo subconjunto LI de possui no máximo 4 vetores.
III. Todo subconjunto de com mais do que 4 vetores gera
.
I. Todo subconjunto LI de
II. Todo subconjunto LI de
III. Todo subconjunto de
Vou trabalhar cada afirmação separadamente e justificar por que é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Antes de atacar as afirmações, vamos revisar conceitos essenciais (devagar e com jeitinho, como se estivéssemos na mesma mesa de estudo).
- Definição de linearmente independente (LI): um conjunto de vetores
é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, isto é, se
implica
. Caso contrário dizemos que o conjunto é linearmente dependente (LD).
-
Definição de gerar (span): o conjunto
gera (ou ) se qualquer vetor de pode ser escrito como combinação linear de vetores de . -
Base: é um conjunto de vetores que é ao mesmo tempo LI e gera o espaço. Uma base de
tem exatamente vetores. -
Fatos fundamentais que vamos usar (teoremas simples e muito úteis):
- Em um espaço vetorial de dimensão
, qualquer conjunto de vetores linearmente independentes tem no máximo vetores. - Em um espaço vetorial de dimensão
, qualquer conjunto gerador tem pelo menos vetores. - Se um conjunto é LI e tem exatamente
vetores (onde ), então esse conjunto gera e, portanto, é uma base.
- Em um espaço vetorial de dimensão
Esses fatos são essenciais e vou usá-los explicitamente nas próximas etapas.
Passo 3
Análise da afirmativa I: “Todo subconjunto LI de
com 4 vetores é uma base de
.”
Explicação detalhada e demonstração curta (passo a passo):
- Sabemos que
. - Seja
um subconjunto linearmente independente de . - Suponha, por contradição, que
não gera . Então existe um vetor que não pertence a . - Considere o conjunto
. Como não está no span de , o conjunto é linearmente independente (um fato: adicionar a um conjunto LI um vetor fora do seu span produz outro conjunto LI). - Assim teríamos um conjunto LI com 5 vetores em
, o que contradiz o fato de que em espaço de dimensão não existem conjuntos LI com mais de 4 vetores. - Essa contradição mostra que a hipótese "
não gera " é falsa; logo gera . - Conclusão:
é LI e gera , portanto é uma base de .
Portanto, a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Análise da afirmativa II: “Todo subconjunto LI de
possui no máximo 4 vetores.”
Explicação e justificativa:
- Isto é exatamente um dos fatos fundamentais mencionados: em um espaço vetorial de dimensão
não existe conjunto linearmente independente com mais de vetores. - Como
, qualquer conjunto LI em tem cardinalidade menor ou igual a . - Uma forma simples de ver por que: se existisse um conjunto LI com 5 vetores, isso violaria a definição de dimensão como o número máximo de vetores LI (ou poderia-se estender a base e chegar a contradição). Portanto impossível.
Logo, a afirmativa II é verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmativa III: “Todo subconjunto de
com mais do que 4 vetores gera
.”
Vamos pensar com cuidado: a hipótese aqui não exige que o conjunto seja LI — apenas que tenha mais de 4 vetores. A pergunta é: isso garante que seu span seja todo
?
- Observação importante: ter mais de 4 vetores não garante que eles alcançam todas as direções do espaço; muitos vetores podem estar “amontoados” dentro de um subespaço de dimensão menor. Ter muitos vetores pode implicar dependência linear, mas não implica necessariamente que o span seja
.
Construção de um contraexemplo explícito (para ficar bem claro):
- Tome
(um exemplo padrão de espaço vetorial de dimensão ). - Considere o subespaço
. Esse tem dimensão (apenas as duas primeiras coordenadas livres). - Escolha um subconjunto de
com mais de vetores todos contidos em , por exemplo Aqui há vetores, todos em . - O span de
é um subespaço de , portanto tem dimensão no máximo , logo . - Assim
tem mais de vetores e, mesmo assim, não gera .
Portanto a afirmativa III é falsa.
Passo 6
Resumo final das verdades das afirmativas:
- I é verdadeira.
- II é verdadeira.
- III é falsa.
Assim, apenas I e II são verdadeiras.
Resposta
(B) Só I e II são verdadeiras.