Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo:
I. Todo subconjunto LI de V com 4 vetores é uma base de V.
II. Todo subconjunto LI de V possui no máximo 4 vetores.
III. Todo subconjunto de V com mais do que 4 vetores gera V.
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só I e II são verdadeiras.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Só I é verdadeira.
(F) Só II e III são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado nos diz que V é um espaço vetorial com \dim(V)=4. Pede para analisar a veracidade das afirmativas:
I. Todo subconjunto LI de V com 4 vetores é uma base de V.
II. Todo subconjunto LI de V possui no máximo 4 vetores.
III. Todo subconjunto de V com mais do que 4 vetores gera V.
Vou trabalhar cada afirmação separadamente e justificar por que é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Antes de atacar as afirmações, vamos revisar conceitos essenciais (devagar e com jeitinho, como se estivéssemos na mesma mesa de estudo).
  • Definição de linearmente independente (LI): um conjunto de vetores S=\{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, isto é, se
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_k v_k = 0
implica a_1=a_2=\cdots=a_k=0. Caso contrário dizemos que o conjunto é linearmente dependente (LD).
  • Definição de gerar (span): o conjunto S gera V (ou \operatorname{span}(S)=V) se qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear de vetores de S.
  • Base: é um conjunto de vetores que é ao mesmo tempo LI e gera o espaço. Uma base de V tem exatamente \dim(V) vetores.
  • Fatos fundamentais que vamos usar (teoremas simples e muito úteis):
    1. Em um espaço vetorial de dimensão n, qualquer conjunto de vetores linearmente independentes tem no máximo n vetores.
    2. Em um espaço vetorial de dimensão n, qualquer conjunto gerador tem pelo menos n vetores.
    3. Se um conjunto é LI e tem exatamente n vetores (onde n=\dim(V)), então esse conjunto gera V e, portanto, é uma base.
Esses fatos são essenciais e vou usá-los explicitamente nas próximas etapas.

Passo 3

Análise da afirmativa I: “Todo subconjunto LI de V com 4 vetores é uma base de V.”
Explicação detalhada e demonstração curta (passo a passo):
  • Sabemos que \dim(V)=4.
  • Seja S=\{v_1,v_2,v_3,v_4\} um subconjunto linearmente independente de V.
  • Suponha, por contradição, que S não gera V. Então existe um vetor w\in V que não pertence a \operatorname{span}(S).
  • Considere o conjunto S' = \{v_1,v_2,v_3,v_4,w\}. Como w não está no span de S, o conjunto S' é linearmente independente (um fato: adicionar a um conjunto LI um vetor fora do seu span produz outro conjunto LI).
  • Assim teríamos um conjunto LI com 5 vetores em V, o que contradiz o fato de que em espaço de dimensão 4 não existem conjuntos LI com mais de 4 vetores.
  • Essa contradição mostra que a hipótese " S não gera V " é falsa; logo S gera V.
  • Conclusão: S é LI e gera V, portanto é uma base de V.
Portanto, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Análise da afirmativa II: “Todo subconjunto LI de V possui no máximo 4 vetores.”
Explicação e justificativa:
  • Isto é exatamente um dos fatos fundamentais mencionados: em um espaço vetorial de dimensão n não existe conjunto linearmente independente com mais de n vetores.
  • Como \dim(V)=4, qualquer conjunto LI em V tem cardinalidade menor ou igual a 4.
  • Uma forma simples de ver por que: se existisse um conjunto LI com 5 vetores, isso violaria a definição de dimensão como o número máximo de vetores LI (ou poderia-se estender a base e chegar a contradição). Portanto impossível.
Logo, a afirmativa II é verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmativa III: “Todo subconjunto de V com mais do que 4 vetores gera V.”
Vamos pensar com cuidado: a hipótese aqui não exige que o conjunto seja LI — apenas que tenha mais de 4 vetores. A pergunta é: isso garante que seu span seja todo V?
  • Observação importante: ter mais de 4 vetores não garante que eles alcançam todas as direções do espaço; muitos vetores podem estar “amontoados” dentro de um subespaço de dimensão menor. Ter muitos vetores pode implicar dependência linear, mas não implica necessariamente que o span seja V.
Construção de um contraexemplo explícito (para ficar bem claro):
  • Tome V=\mathbb{R}^4 (um exemplo padrão de espaço vetorial de dimensão 4).
  • Considere o subespaço W = \{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 \mid x_3=x_4=0\}. Esse W tem dimensão 2 (apenas as duas primeiras coordenadas livres).
  • Escolha um subconjunto de V com mais de 4 vetores todos contidos em W, por exemplo S=\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(1,1,0,0),(2,3,0,0),(1,2,0,0)\}.Aqui há 5 vetores, todos em W.
  • O span de S é um subespaço de W, portanto tem dimensão no máximo 2, logo \operatorname{span}(S)\neq \mathbb{R}^4.
  • Assim S tem mais de 4 vetores e, mesmo assim, não gera V.
Portanto a afirmativa III é falsa.

Passo 6

Resumo final das verdades das afirmativas:
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.
  • III é falsa.
Assim, apenas I e II são verdadeiras.

Resposta

(B) Só I e II são verdadeiras.

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