A dimensão de S é:
(A) 14
(B) 15
(C) 3
(D) 2
(E) 4
(F) 18
(G) 16
(H) 17
Passo 1
O enunciado pede a dimensão do conjunto S formado pelos vetores \left(x_{1},\ldots,x_{18}\right)\in\mathbb{R}^{18} que satisfazem as quatro igualdades abaixo:
Cada uma é uma combinação linear das coordenadas igual a zero. Um subespaço definido por equações homogêneas tem dimensão dada por
\dim(S)=18-\operatorname{rank}(A),
onde A é a matriz cujas linhas são os coeficientes das equações e \operatorname{rank}(A) é o posto (número de equações linearmente independentes). Vou então examinar a independência das quatro equações.]
portanto a quarta equação é combinação linear das primeiras duas e não acrescenta nenhuma restrição nova. Logo entre as quatro equações, apenas três podem ser linearmente independentes (as três primeiras, por exemplo).
Cada uma dessas fixa uma coordenada em função de outra (por exemplo x_{9}=x_{5}, etc.). Não há outra relação entre essas três equações; elas são claramente independentes (cada uma envolve um par distinto de coordenadas). Portanto
\operatorname{rank}(A)=3.
Passo 5
Aplicar o teorema da dimensão (teorema núcleo-imagem / rank-nullity) e interpretar em termos de graus de liberdade:
Como \operatorname{rank}(A)=3 e o espaço ambiente tem dimensão 18, a dimensão do subespaço solução é
\dim(S)=18-3=15.
Intuição concreta: das 18 coordenadas originais, três são determinadas pelas outras três pela igualdade (por exemplo x_{9}=x_{5}, x_{15}=x_{7}, x_{17}=x_{13}), sobrando 15 coordenadas livres que podem variar arbitrariamente. Uma parametrização simples é tomar todas as coordenadas livres