Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{18}\right) \in \mathbb{R}^{18} tais que:
\left\{\begin{array}{c} x_{9}=x_{5} \\\ x_{7}=x_{15} \\\ x_{13}=x_{17} \\\ x_{7}+x_{9}=x_{15}+x_{5} \end{array}\right.
A dimensão de S é:
(A) 14
(B) 15
(C) 3
(D) 2
(E) 4
(F) 18
(G) 16
(H) 17

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do conjunto S formado pelos vetores \left(x_{1},\ldots,x_{18}\right)\in\mathbb{R}^{18} que satisfazem as quatro igualdades abaixo:
\left\{\begin{array}{l} x_{9}=x_{5},\\[4pt] x_{7}=x_{15},\\[4pt] x_{13}=x_{17},\\[4pt] x_{7}+x_{9}=x_{15}+x_{5}. \end{array}\right.
Informações relevantes dadas:
  • 18 coordenadas \left(x_{1},\ldots,x_{18}\right).
  • Existem quatro equações relacionando essas coordenadas (listadas acima).
  • A pergunta é: qual é a dimensão do conjunto S (isto é, o número de graus de liberdade / dimensão do subespaço definido por essas equações)?]

Passo 2

Transformar as igualdades em equações lineares homogêneas ajuda a ver S como um subespaço linear de \mathbb{R}^{18}.
Escrevendo cada igualdade como uma equação igual a zero:
\begin{aligned} x_{9}-x_{5}&=0,\\[4pt] x_{7}-x_{15}&=0,\\[4pt] x_{13}-x_{17}&=0,\\[4pt] x_{7}+x_{9}-x_{15}-x_{5}&=0. \end{aligned}
Cada uma é uma combinação linear das coordenadas igual a zero. Um subespaço definido por equações homogêneas tem dimensão dada por
\dim(S)=18-\operatorname{rank}(A),
onde A é a matriz cujas linhas são os coeficientes das equações e \operatorname{rank}(A) é o posto (número de equações linearmente independentes). Vou então examinar a independência das quatro equações.]

Passo 3

Verificar dependências entre as equações:
As três primeiras equações são
x_{9}-x_{5}=0,\qquad x_{7}-x_{15}=0,\qquad x_{13}-x_{17}=0.
A quarta é
x_{7}+x_{9}-x_{15}-x_{5}=0.
Note que a quarta é exatamente a soma das duas primeiras:
(x_{7}-x_{15})+(x_{9}-x_{5})=x_{7}+x_{9}-x_{15}-x_{5},
portanto a quarta equação é combinação linear das primeiras duas e não acrescenta nenhuma restrição nova. Logo entre as quatro equações, apenas três podem ser linearmente independentes (as três primeiras, por exemplo).

Passo 4

Concluir o posto da matriz de coeficientes:
As equações independentes são
x_{9}-x_{5}=0,\qquad x_{7}-x_{15}=0,\qquad x_{13}-x_{17}=0.
Cada uma dessas fixa uma coordenada em função de outra (por exemplo x_{9}=x_{5}, etc.). Não há outra relação entre essas três equações; elas são claramente independentes (cada uma envolve um par distinto de coordenadas). Portanto
\operatorname{rank}(A)=3.

Passo 5

Aplicar o teorema da dimensão (teorema núcleo-imagem / rank-nullity) e interpretar em termos de graus de liberdade:
Como \operatorname{rank}(A)=3 e o espaço ambiente tem dimensão 18, a dimensão do subespaço solução é
\dim(S)=18-3=15.
Intuição concreta: das 18 coordenadas originais, três são determinadas pelas outras três pela igualdade (por exemplo x_{9}=x_{5}, x_{15}=x_{7}, x_{17}=x_{13}), sobrando 15 coordenadas livres que podem variar arbitrariamente. Uma parametrização simples é tomar todas as coordenadas livres
x_{i}\quad(i\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,16,18\})
como parâmetros independentes e definir
x_{9}=x_{5},\qquad x_{15}=x_{7},\qquad x_{17}=x_{13}.
Isso mostra explicitamente os 15 graus de liberdade.

Resposta

15

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