Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
II - O complemento ortogonal de span \{\vec{u}, \vec{v}\}, \operatorname{com}\{\vec{u}, \vec{v}\} LD, não é subespaço vetorial.
III - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=3 y-3 x\right\} é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três afirmativas e pede que identifiquemos quais são verdadeiras:
I - O conjunto solução do sistema linear homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
II - O complemento ortogonal de \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}, com \{\vec{u},\vec{v}\} linearmente dependente, não é subespaço vetorial.
III - \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=3y-3x\} é subespaço vetorial.
As opções são as letras de (A) a (H); precisamos dizer qual opção corresponde às afirmativas verdadeiras.

Passo 2

Analisando I: primeiro, vamos entender o que é o conjunto solução do sistema homogêneo. Definimos o núcleo (ou espaço nulo) de A por
\operatorname{N}(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\vec{x}=\overrightarrow{0}\}.
Agora lembramos a definição de subespaço vetorial: um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço se (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação escalar. Vou verificar essas três propriedades para \operatorname{N}(A).

Passo 3

Verificação para I (continuação):
  • Contém o zero: A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, logo \overrightarrow{0}\in\operatorname{N}(A).
  • Fechamento por soma: se \vec{x},\vec{y}\in\operatorname{N}(A), então A\vec{x}=\overrightarrow{0} e A\vec{y}=\overrightarrow{0}. Pela linearidade da multiplicação matricial,
A(\vec{x}+\vec{y})=A\vec{x}+A\vec{y}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0},
portanto \vec{x}+\vec{y}\in\operatorname{N}(A).
  • Fechamento por escalares: se \vec{x}\in\operatorname{N}(A) e \alpha\in\mathbb{R}, então
A(\alpha\vec{x})=\alpha A\vec{x}=\alpha\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0},
logo \alpha\vec{x}\in\operatorname{N}(A).
Como as três propriedades valem, \operatorname{N}(A) é subespaço vetorial. Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Analisando II: primeiro definimos complemento ortogonal. Para um conjunto S\subseteq\mathbb{R}^n,
S^{\perp}=\{\vec{w}\in\mathbb{R}^n \mid \vec{w}\cdot\vec{s}=0\text{ para todo }\vec{s}\in S\}.
Vou mostrar que, para qualquer S, o conjunto S^{\perp} é sempre um subespaço vetorial.
  • Contém o zero: \overrightarrow{0}\cdot\vec{s}=0 para todo \vec{s}, portanto \overrightarrow{0}\in S^{\perp}.
  • Fechamento por soma: se \vec{w}_1,\vec{w}_2\in S^{\perp}, então para todo \vec{s}\in S,
(\vec{w}_1+\vec{w}_2)\cdot\vec{s}=\vec{w}_1\cdot\vec{s}+\vec{w}_2\cdot\vec{s}=0+0=0,
logo \vec{w}_1+\vec{w}_2\in S^{\perp}.
  • Fechamento por escalares: se \vec{w}\in S^{\perp} e \alpha\in\mathbb{R}, então para todo \vec{s}\in S,
(\alpha\vec{w})\cdot\vec{s}=\alpha(\vec{w}\cdot\vec{s})=\alpha\cdot 0=0,
portanto \alpha\vec{w}\in S^{\perp}.
Logo S^{\perp} é subespaço para qualquer S. Em particular, se S=\operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\} (mesmo quando \{\vec{u},\vec{v}\} é linearmente dependente), o complemento ortogonal S^{\perp} é subespaço. Um exemplo concreto para intuição: se \vec{u}=(1,0,0) e \vec{v}=2\vec{u} (LD), então \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\} é a reta x-axis e seu ortogonal é o plano \{(0,y,z)\}, que claramente é subespaço. Portanto a afirmativa II, que diz que esse complemento não é subespaço, é falsa.

Passo 5

Analisando III: consideremos o conjunto
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=3y-3x\}.
Reescrevemos a condição numa forma linear homogênea:
3x-3y+z=0.
Defina a forma linear L:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} por L(x,y,z)=3x-3y+z. O conjunto W é exatamente o núcleo de L:
W=\operatorname{ker}(L)=\{(x,y,z)\mid L(x,y,z)=0\}.
O núcleo de uma aplicação linear é sempre um subespaço (mesma verificação de conter zero, fechamento por soma e por escalares). Outra forma de ver: parametrizamos W tomando x=s, y=t; então
(x,y,z)=(s,t,3t-3s)=s(1,0,-3)+t(0,1,3),
ou seja, W=\operatorname{span}\{(1,0,-3),(0,1,3)\}, que é claramente um subespaço (soma de múltiplos escalares). Portanto a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Conclusão das três afirmativas: I é verdadeira, II é falsa, III é verdadeira. Entre as opções dadas, a que corresponde a “Só I e III são verdadeiras” é a opção (F).

Resposta

(F)

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