Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.
II - O complemento ortogonal de span
LD, não é subespaço vetorial.
III -
é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
II - O complemento ortogonal de span
III -
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá três afirmativas e pede que identifiquemos quais são verdadeiras:
I - O conjunto solução do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
II - O complemento ortogonal de , com
linearmente dependente, não é subespaço vetorial.
III - é subespaço vetorial.
As opções são as letras de (A) a (H); precisamos dizer qual opção corresponde às afirmativas verdadeiras.
I - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
II - O complemento ortogonal de
III -
As opções são as letras de (A) a (H); precisamos dizer qual opção corresponde às afirmativas verdadeiras.
Passo 2
Analisando I: primeiro, vamos entender o que é o conjunto solução do sistema homogêneo. Definimos o núcleo (ou espaço nulo) de
por
Agora lembramos a definição de subespaço vetorial: um subconjunto
é subespaço se (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação escalar. Vou verificar essas três propriedades para
.
Passo 3
Verificação para I (continuação):
- Contém o zero:
, logo . - Fechamento por soma: se
, então e . Pela linearidade da multiplicação matricial,
portanto
.
- Fechamento por escalares: se
e , então
logo
.
Como as três propriedades valem, é subespaço vetorial. Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Como as três propriedades valem,
Passo 4
Analisando II: primeiro definimos complemento ortogonal. Para um conjunto
,
Vou mostrar que, para qualquer
, o conjunto
é sempre um subespaço vetorial.
- Contém o zero:
para todo , portanto . - Fechamento por soma: se
, então para todo ,
logo
.
- Fechamento por escalares: se
e , então para todo ,
portanto
.
Logo é subespaço para qualquer
. Em particular, se
(mesmo quando
é linearmente dependente), o complemento ortogonal
é subespaço. Um exemplo concreto para intuição: se
e
(LD), então
é a reta
-axis e seu ortogonal é o plano
, que claramente é subespaço. Portanto a afirmativa II, que diz que esse complemento não é subespaço, é falsa.
Logo
Passo 5
Analisando III: consideremos o conjunto
Reescrevemos a condição numa forma linear homogênea:
Defina a forma linear
por
. O conjunto
é exatamente o núcleo de
:
O núcleo de uma aplicação linear é sempre um subespaço (mesma verificação de conter zero, fechamento por soma e por escalares). Outra forma de ver: parametrizamos
tomando
,
; então
ou seja,
, que é claramente um subespaço (soma de múltiplos escalares). Portanto a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Conclusão das três afirmativas: I é verdadeira, II é falsa, III é verdadeira. Entre as opções dadas, a que corresponde a “Só I e III são verdadeiras” é a opção
.
Resposta
(F)