Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.
II. A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial
III. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=3 x-3 y\right\} é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que cada afirmativa diz.
  • O enunciado fornece três afirmativas e pede que eu indique quais são verdadeiras:
    I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.
    II. A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial.
    III. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=3 x-3 y\right\} é subespaço vetorial.
  • Preciso decidir a veracidade de cada uma e então escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Relembrando (de forma bem direta e prática) o que é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{n}: um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^{n} é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades (mas na prática basta verificar as duas últimas se o zero já está claro):
  1. \overrightarrow{0}\in W (contém o vetor zero).
  2. Se u,v\in W então u+v\in W (fechado sob adição).
  3. Se u\in W e c\in\mathbb{R} então c u\in W (fechado sob multiplicação escalar).
Vou usar exatamente essas propriedades para verificar cada afirmativa. Sempre que usar alguma expressão matemática ela estará em TeX.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: “O conjunto solução do sistema linear homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.”
  • Observação: o conjunto solução de A\vec{x}=\overrightarrow{0} é o núcleo (ou nulidade) da transformação linear representada por A. Denota-se normalmente por \ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\mid A\vec{x}=\overrightarrow{0}\}.
  • Prova direta de que \ker(A) é subespaço:
    • O vetor \overrightarrow{0} satisfaz A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, logo \overrightarrow{0}\in\ker(A).
    • Se \vec{u},\vec{v}\in\ker(A), então A(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}. Logo \vec{u}+\vec{v}\in\ker(A).
    • Se c\in\mathbb{R} e \vec{u}\in\ker(A), então A(c\vec{u})=cA\vec{u}=c\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}. Logo c\vec{u}\in\ker(A).
  • Conclusão: \ker(A) satisfaz as três propriedades, portanto é um subespaço vetorial.
Portanto a afirmativa I, que diz que esse conjunto NÃO é subespaço, é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmativa II: “A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial.”
  • Primeiro: uma rotação em \mathbb{R}^{3} (como transformação que envia cada vetor ao seu vetor rotacionado em torno de algum eixo por algum ângulo) é uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}. Em particular, imagens e núcleos de transformações lineares são conceitos bem definidos.
  • Propriedade geral: para toda transformação linear T:V\to W, o conjunto imagem \operatorname{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in V\} é sempre um subespaço de W. Demonstração curta:
    • T(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0}, logo \overrightarrow{0}\in\operatorname{Im}(T).
    • Se y_1=T(u) e y_2=T(v) então y_1+y_2=T(u)+T(v)=T(u+v), logo y_1+y_2\in\operatorname{Im}(T).
    • Se c\in\mathbb{R} então c y_1 = cT(u)=T(cu)\in\operatorname{Im}(T).
  • Aplicando ao caso da rotação: como a rotação é linear, sua imagem é subespaço. Além disso, rotações em \mathbb{R}^{3} (as usuais) são invertíveis e têm imagem igual a todo \mathbb{R}^{3}, que também é um subespaço.
  • Conclusão: a afirmativa II, que nega que a imagem seja subespaço, é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmativa III: " \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=3 x-3 y\right\} é subespaço vetorial."
Vou mostrar isso de duas maneiras curtas e didáticas.
(1) Verificação direta das propriedades de subespaço:
  • O vetor zero \overrightarrow{0}=(0,0,0) satisfaz 0=3\cdot 0-3\cdot 0, logo \overrightarrow{0} pertence ao conjunto.
  • Seja (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) em nosso conjunto, então z_1=3x_1-3y_1 e z_2=3x_2-3y_2. A soma tem terceira coordenada z_1+z_2 = (3x_1-3y_1)+(3x_2-3y_2)=3(x_1+x_2)-3(y_1+y_2),ou seja, a soma também satisfaz a relação, logo está no conjunto.
  • Para escalar: se c\in\mathbb{R} e (x,y,z) está no conjunto, então z=3x-3y e c z = c(3x-3y)=3(cx)-3(cy),então c(x,y,z) também está no conjunto.
  • Logo é subespaço.
(2) Forma como span (mais construtiva, útil em provas): parametrizando por x e y. Escreva x=s, y=t; então z=3s-3t. O vetor fica
(s,t,3s-3t)=s(1,0,3)+t(0,1,-3).
Portanto o conjunto é \operatorname{span}\{(1,0,3),(0,1,-3)\}, e qualquer span é um subespaço. Assim confirmamos que a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Resumo das análises:
  • I é falsa (o conjunto solução de A\vec{x}=\overrightarrow{0} é o núcleo e é subespaço).
  • II é falsa (a imagem de uma transformação linear — em particular de uma rotação — é sempre subespaço).
  • III é verdadeira (o conjunto é o kernel de uma forma linear ou o span de dois vetores).
Logo, apenas a afirmativa III é verdadeira.

Resposta

(E) Só III é verdadeira.

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