Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
não é um subespaço vetorial.
II. A imagem de uma rotação em
não é subespaço vetorial
III.
é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
II. A imagem de uma rotação em
III.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que cada afirmativa diz.
-
O enunciado fornece três afirmativas e pede que eu indique quais são verdadeiras:
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneonão é um subespaço vetorial.
II. A imagem de uma rotação emnão é subespaço vetorial.
III.é subespaço vetorial. -
Preciso decidir a veracidade de cada uma e então escolher a alternativa correta entre as dadas.
Passo 2
Relembrando (de forma bem direta e prática) o que é um subespaço vetorial de
: um subconjunto
é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades (mas na prática basta verificar as duas últimas se o zero já está claro):
-
(contém o vetor zero). - Se
então (fechado sob adição). - Se
e então (fechado sob multiplicação escalar).
Vou usar exatamente essas propriedades para verificar cada afirmativa. Sempre que usar alguma expressão matemática ela estará em TeX.
Passo 3
Analisando a afirmativa I: “O conjunto solução do sistema linear homogêneo
não é um subespaço vetorial.”
- Observação: o conjunto solução de
é o núcleo (ou nulidade) da transformação linear representada por . Denota-se normalmente por . - Prova direta de que
é subespaço: - O vetor
satisfaz , logo . - Se
, então . Logo . - Se
e , então . Logo .
- O vetor
- Conclusão:
satisfaz as três propriedades, portanto é um subespaço vetorial.
Portanto a afirmativa I, que diz que esse conjunto NÃO é subespaço, é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmativa II: “A imagem de uma rotação em
não é subespaço vetorial.”
- Primeiro: uma rotação em
(como transformação que envia cada vetor ao seu vetor rotacionado em torno de algum eixo por algum ângulo) é uma transformação linear . Em particular, imagens e núcleos de transformações lineares são conceitos bem definidos. - Propriedade geral: para toda transformação linear
, o conjunto imagem é sempre um subespaço de . Demonstração curta: -
, logo . - Se
e então , logo . - Se
então .
-
- Aplicando ao caso da rotação: como a rotação é linear, sua imagem é subespaço. Além disso, rotações em
(as usuais) são invertíveis e têm imagem igual a todo , que também é um subespaço. - Conclusão: a afirmativa II, que nega que a imagem seja subespaço, é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmativa III: "
é subespaço vetorial."
Vou mostrar isso de duas maneiras curtas e didáticas.
(1) Verificação direta das propriedades de subespaço:
- O vetor zero
satisfaz , logo pertence ao conjunto. - Seja
e em nosso conjunto, então e . A soma tem terceira coordenada ou seja, a soma também satisfaz a relação, logo está no conjunto. - Para escalar: se
e está no conjunto, então e então também está no conjunto. - Logo é subespaço.
(2) Forma como span (mais construtiva, útil em provas): parametrizando por
e
. Escreva
,
; então
. O vetor fica
Portanto o conjunto é
, e qualquer span é um subespaço. Assim confirmamos que a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Resumo das análises:
- I é falsa (o conjunto solução de
é o núcleo e é subespaço). - II é falsa (a imagem de uma transformação linear — em particular de uma rotação — é sempre subespaço).
- III é verdadeira (o conjunto é o kernel de uma forma linear ou o span de dois vetores).
Logo, apenas a afirmativa III é verdadeira.
Resposta
(E) Só III é verdadeira.