e o vetor \vec{v}=(-2,-42,16,-32,-2).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{3} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá uma base ortogonal \beta=\{u_1,u_2,u_3,u_4,u_5\} de \mathbb{R}^5 cujos vetores são
O vetor dado é \vec{v}=(-2,-42,16,-32,-2).
A pergunta é: se \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} são as coordenadas de \vec{v} na base \beta, qual é a entrada \,x_{3}\, (a terceira coordenada)?
Passo 2
Fato útil (sem resolver sistema): para uma base ortogonal \{u_i\} vale a fórmula
onde \langle a,b\rangle é o produto interno euclidiano (produto escalar): para a=(a_1,\dots,a_5) e b=(b_1,\dots,b_5),
\langle a,b\rangle=\sum_{k=1}^{5} a_k b_k.
Explicação rápida do porquê: escrevendo \vec{v}=\sum_{i} x_i u_i e fazendo produto escalar com u_j, a ortogonalidade faz com que só reste x_j\langle u_j,u_j\rangle, daí a fórmula acima. Ou seja, projetamos \vec{v} sobre cada vetor da base e dividimos pelo quadrado da norma desse vetor.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula ao caso j=3. O vetor u_3 (peguei da base fornecida) é