Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 1 \\\\ 3 \\\\ -1 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 3 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 7 \\\\ -3 \\\\ 7 \\\\ 6 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ 8 \\\\ 3 \\\\ -1 \\\\ -6 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 1 \\\\ -3 \\\\ -1 \\\\ -2 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(-2,-42,16,-32,-2).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{3} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma base ortogonal \beta=\{u_1,u_2,u_3,u_4,u_5\} de \mathbb{R}^5 cujos vetores são
u_1=\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 3\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},\\ u_2=\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\\\ 3\\\ -2\end{pmatrix},\\ u_3=\begin{pmatrix}-1\\\ 7\\\ -3\\\ 7\\\ 6\end{pmatrix},\\ u_4=\begin{pmatrix}4\\\ 8\\\ 3\\\ -1\\\ -6\end{pmatrix},\\ u_5=\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ -3\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix}.
O vetor dado é \vec{v}=(-2,-42,16,-32,-2).
A pergunta é: se \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} são as coordenadas de \vec{v} na base \beta, qual é a entrada \,x_{3}\, (a terceira coordenada)?

Passo 2

Fato útil (sem resolver sistema): para uma base ortogonal \{u_i\} vale a fórmula
x_j=\frac{\langle \vec{v},u_j\rangle}{\langle u_j,u_j\rangle},
onde \langle a,b\rangle é o produto interno euclidiano (produto escalar): para a=(a_1,\dots,a_5) e b=(b_1,\dots,b_5),
\langle a,b\rangle=\sum_{k=1}^{5} a_k b_k.
Explicação rápida do porquê: escrevendo \vec{v}=\sum_{i} x_i u_i e fazendo produto escalar com u_j, a ortogonalidade faz com que só reste x_j\langle u_j,u_j\rangle, daí a fórmula acima. Ou seja, projetamos \vec{v} sobre cada vetor da base e dividimos pelo quadrado da norma desse vetor.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula ao caso j=3. O vetor u_3 (peguei da base fornecida) é
u_3=\begin{pmatrix}-1\\\ 7\\\ -3\\\ 7\\\ 6\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular o numerador \langle \vec{v},u_3\rangle pelo produto termo a termo:
\langle \vec{v},u_3\rangle = (-2)(-1)+(-42)(7)+16(-3)+(-32)(7)+(-2)(6).
Agora as multiplicações e soma:
(-2)(-1)=2,\quad (-42)(7)=-294,\quad 16(-3)=-48,\quad (-32)(7)=-224,\quad (-2)(6)=-12.
Somando:
\langle \vec{v},u_3\rangle = 2-294-48-224-12 = -576.

Passo 5

Calcular o denominador \langle u_3,u_3\rangle (norma ao quadrado de u_3):
\langle u_3,u_3\rangle = (-1)^2+7^2+(-3)^2+7^2+6^2 = 1+49+9+49+36 = 144.

Passo 6

Agora aplicar a fórmula:
x_3=\frac{\langle \vec{v},u_3\rangle}{\langle u_3,u_3\rangle}=\frac{-576}{144}=-4.
Pronto — sem resolver sistema, só projeção sobre o vetor da base e dividir pelo seu quadrado da norma.

Resposta

(A) -4

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