Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - A imagem de uma projeção ortogonal não é subespaço vetorial
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
III - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=6 y-6 z\right\} é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmativas e pede para dizer quais são verdadeiras ou falsas dentre as opções dadas. As afirmativas são:
I - A imagem de uma projeção ortogonal não é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo \,A\vec{x}=\vec{0}\, é um subespaço vetorial.
III - \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x = 6y - 6z\right\} é subespaço vetorial.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Temos uma projeção ortogonal (não foi dito sobre qual subespaço, apenas “uma projeção ortogonal”).
  • Temos o sistema homogêneo A\vec{x}=\vec{0}.
  • Temos o conjunto de pontos em \mathbb{R}^3 definidos pela equação x=6y-6z.
  • Precisamos decidir, para cada afirmativa, se é verdadeira ou falsa e então escolher a alternativa correta entre as letras fornecidas.

Passo 2

Antes de atacar cada afirmativa, vamos aprender um critério prático para reconhecer subespaços vetoriais — isso será útil em todas as partes.
Definição prática: um subconjunto S de um espaço vetorial (por exemplo \mathbb{R}^n) é um subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz as três propriedades abaixo:
  1. S contém o vetor nulo (o vetor \vec{0}).
  2. S é fechado sob adição: se \vec{u}\in S e \vec{v}\in S, então \vec{u}+\vec{v}\in S.
  3. S é fechado sob multiplicação escalar: se \vec{u}\in S e \alpha é escalar, então \alpha\vec{u}\in S.
Por que essas três? Porque um subespaço precisa ser um espaço vetorial por si só com as mesmas operações; essas três propriedades garantem que as combinações lineares permanecem no conjunto e que o elemento neutro está presente. Um teste rápido: se você consegue escrever o conjunto como todo o conjunto de combinações lineares de alguns vetores (ou seja, como o span de alguns vetores), então é subespaço.
Exemplo curto para fixar: o conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=0\} é subespaço — é o eixo x, contém \vec{0}, soma de dois vetores com y=0 continua com y=0, e escala também.

Passo 3

Análise da afirmativa I: “A imagem de uma projeção ortogonal não é subespaço vetorial.”
Vamos entender o que é uma projeção ortogonal — sem perder tempo com formalismos pesados: uma projeção ortogonal P é uma aplicação linear que manda cada vetor do espaço na sua “sombra” sobre um certo subespaço W (o subespaço sobre o qual projetamos). Propriedades importantes (e fáceis de aceitar) de uma projeção ortogonal:
  • P é linear.
  • A imagem de P, denotada \operatorname{Im}(P), é exatamente o subespaço W sobre o qual projetamos.
    Logo \operatorname{Im}(P)=W, e por definição W é um subespaço vetorial.
Exemplo concreto para tornar intuitivo: projete em \mathbb{R}^2 sobre o eixo x. A projeção ortogonal P(x,y)=(x,0). A imagem é \{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}, que é um subespaço (o eixo x). Então a afirmativa I, que nega isso, é falsa.
Conclusão do Passo 3: a afirmativa I é falsa.

Passo 4

Análise da afirmativa II: “O conjunto solução do sistema linear homogêneo \,A\vec{x}=\vec{0}\, é um subespaço vetorial.”
O conjunto solução de A\vec{x}=\vec{0} é justamente o núcleo (ou nullspace) da aplicação linear representada por A, denotado \ker(A). Vamos verificar as três propriedades do passo 2 para \ker(A):
  1. Contém o vetor nulo: A\vec{0}=\vec{0}, logo \vec{0}\in\ker(A).
  2. Fechamento por adição: se A\vec{u}=\vec{0} e A\vec{v}=\vec{0}, então A(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}. Logo \vec{u}+\vec{v}\in\ker(A).
  3. Fechamento por escalares: se A\vec{u}=\vec{0} e \alpha\in\mathbb{R}, então A(\alpha\vec{u})=\alpha A\vec{u}=\alpha\vec{0}=\vec{0}. Logo \alpha\vec{u}\in\ker(A).
Essas três propriedades mostram diretamente que o conjunto solução é um subespaço. Intuição: soluções do sistema homogêneo formam um espaço linear (você pode somar soluções e multiplicar por escalares e ainda ter solução).
Conclusão do Passo 4: a afirmativa II é verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmativa III: \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x = 6y - 6z\right\} é subespaço vetorial.
Vamos estudar o conjunto S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x = 6y - 6z\}.
Primeiro, escrevemos qualquer vetor de S em função dos parâmetros y e z. Se escolhermos y e z livres, então
(x,y,z) = (6y-6z,\,y,\,z).
Podemos separar em combinação linear dos vetores correspondentes a y e z:
(6y-6z,\,y,\,z) = y\,(6,1,0) + z\,(-6,0,1).
Portanto todo vetor de S é uma combinação linear dos vetores v_1=(6,1,0) e v_2=(-6,0,1). Assim
S = \operatorname{span}\{(6,1,0),\,(-6,0,1)\}.
Qual é a consequência? Qualquer span de vetores é um subespaço vetorial: contém o zero (escolha escalares zero), é fechado sob soma e escalares por definição de combinação linear.
Alternativamente, podemos verificar as três propriedades diretamente:
  1. Vetor zero: para y=0,z=0 obtemos (0,0,0)\in S.
  2. Soma: soma de (6y_1-6z_1,y_1,z_1) e (6y_2-6z_2,y_2,z_2) é (6(y_1+y_2)-6(z_1+z_2),\,y_1+y_2,\,z_1+z_2), que satisfaz a relação e fica em S.
  3. Multiplicação escalar: \alpha(6y-6z,y,z)=(6(\alpha y)-6(\alpha z),\alpha y,\alpha z), que também satisfaz a relação.
Logo S é um subespaço (na verdade é um plano através da origem em \mathbb{R}^3).
Conclusão do Passo 5: a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Resumo das verdades/falsidades encontradas:
  • I é falsa.
  • II é verdadeira.
  • III é verdadeira.
Portanto as afirmativas verdadeiras são exatamente II e III. Consultando as alternativas dadas, a que corresponde a “Só II e III são verdadeiras” é a alternativa (G).

Resposta

(G)

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