Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - A imagem de uma projeção ortogonal não é subespaço vetorial
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.
III -
é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I - A imagem de uma projeção ortogonal não é subespaço vetorial
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
III -
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmativas e pede para dizer quais são verdadeiras ou falsas dentre as opções dadas. As afirmativas são:
I - A imagem de uma projeção ortogonal não é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.
III -
é subespaço vetorial.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Temos uma projeção ortogonal (não foi dito sobre qual subespaço, apenas “uma projeção ortogonal”).
- Temos o sistema homogêneo
. - Temos o conjunto de pontos em
definidos pela equação . - Precisamos decidir, para cada afirmativa, se é verdadeira ou falsa e então escolher a alternativa correta entre as letras fornecidas.
Passo 2
Antes de atacar cada afirmativa, vamos aprender um critério prático para reconhecer subespaços vetoriais — isso será útil em todas as partes.
Definição prática: um subconjunto
de um espaço vetorial (por exemplo
) é um subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz as três propriedades abaixo:
-
contém o vetor nulo (o vetor ). -
é fechado sob adição: se e , então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e é escalar, então .
Por que essas três? Porque um subespaço precisa ser um espaço vetorial por si só com as mesmas operações; essas três propriedades garantem que as combinações lineares permanecem no conjunto e que o elemento neutro está presente. Um teste rápido: se você consegue escrever o conjunto como todo o conjunto de combinações lineares de alguns vetores (ou seja, como o span de alguns vetores), então é subespaço.
Exemplo curto para fixar: o conjunto
é subespaço — é o eixo
, contém
, soma de dois vetores com
continua com
, e escala também.
Passo 3
Análise da afirmativa I: “A imagem de uma projeção ortogonal não é subespaço vetorial.”
Vamos entender o que é uma projeção ortogonal — sem perder tempo com formalismos pesados: uma projeção ortogonal
é uma aplicação linear que manda cada vetor do espaço na sua “sombra” sobre um certo subespaço
(o subespaço sobre o qual projetamos). Propriedades importantes (e fáceis de aceitar) de uma projeção ortogonal:
-
é linear. - A imagem de
, denotada , é exatamente o subespaço sobre o qual projetamos.
Logo, e por definição é um subespaço vetorial.
Exemplo concreto para tornar intuitivo: projete em
sobre o eixo
. A projeção ortogonal
. A imagem é
, que é um subespaço (o eixo
). Então a afirmativa I, que nega isso, é falsa.
Conclusão do Passo 3: a afirmativa I é falsa.
Passo 4
Análise da afirmativa II: “O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.”
O conjunto solução de
é justamente o núcleo (ou nullspace) da aplicação linear representada por
, denotado
. Vamos verificar as três propriedades do passo 2 para
:
- Contém o vetor nulo:
, logo . - Fechamento por adição: se
e , então . Logo . - Fechamento por escalares: se
e , então . Logo .
Essas três propriedades mostram diretamente que o conjunto solução é um subespaço. Intuição: soluções do sistema homogêneo formam um espaço linear (você pode somar soluções e multiplicar por escalares e ainda ter solução).
Conclusão do Passo 4: a afirmativa II é verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmativa III:
é subespaço vetorial.
Vamos estudar o conjunto
.
Primeiro, escrevemos qualquer vetor de
em função dos parâmetros
e
. Se escolhermos
e
livres, então
Podemos separar em combinação linear dos vetores correspondentes a
e
:
Portanto todo vetor de
é uma combinação linear dos vetores
e
. Assim
Qual é a consequência? Qualquer span de vetores é um subespaço vetorial: contém o zero (escolha escalares zero), é fechado sob soma e escalares por definição de combinação linear.
Alternativamente, podemos verificar as três propriedades diretamente:
- Vetor zero: para
obtemos . - Soma: soma de
e é , que satisfaz a relação e fica em . - Multiplicação escalar:
, que também satisfaz a relação.
Logo
é um subespaço (na verdade é um plano através da origem em
).
Conclusão do Passo 5: a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Resumo das verdades/falsidades encontradas:
- I é falsa.
- II é verdadeira.
- III é verdadeira.
Portanto as afirmativas verdadeiras são exatamente II e III. Consultando as alternativas dadas, a que corresponde a “Só II e III são verdadeiras” é a alternativa
.
Resposta
(G)