Q15: Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
. O valor de
, a
entrada de
, é:
(A) 3
(B) 2
(C) 5
(D) 4
(A) 3
(B) 2
(C) 5
(D) 4
Passo 1
O enunciado dá:
-
. -
.
Pede-se calcular
, a projeção ortogonal de
sobre
, e em particular determinar o valor de
, a 3ª entrada de
.
Passo 2
Idéias e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
- A equação
tem como coeficientes o vetor normal da superfície. Ou seja, o vetor normal a é . Aqui cada componente de é o coeficiente de na equação do plano. - Qual é a projeção ortogonal de um vetor sobre um subespaço que passa pela origem? Para uma reta gerada por
a projeção de sobre essa reta é
Aqui
é o produto escalar (soma dos produtos das componentes) e
é o quadrado da norma de
.
- Se
é o plano ortogonal a , então qualquer vetor se decompõe ortogonalmente como
onde
e
é paralelo a
. Assim a projeção de
sobre
é
Essa fórmula é prática: subtrai-se de
a componente na direção do normal, sobrando a componente dentro do plano.
Passo 3
Identificar o vetor normal:
Passo 4
Calcular o produto escalar
passo a passo:
Agora calcular os termos:
Somando:
Passo 5
Calcular
(a norma ao quadrado de
):
Passo 6
Calcular o coeficiente escalar da projeção na direção de
:
Passo 7
Calcular a projeção de
sobre a direção de
:
Passo 8
Calcular
componente a componente:
Fazendo as contas:
Passo 9
Verificação rápida (bom para a prova): confirmar que
pertence a
calculando
:
logo
satisfaz
e está realmente em
. Tudo consistente.
Resposta
(D) 4