Q15: Sejam \vec{v}=(-9,-7,8) e
H=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-3 y+2 z=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H. O valor de w_{3}, a 3{ }^{\text {a }} entrada de \vec{w}, é:
(A) 3
(B) 2
(C) 5
(D) 4

Passo 1

O enunciado dá:
  • \vec{v}=(-9,-7,8).
  • H=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x-3y+2z=0\}.
Pede-se calcular \vec{w}=P_{H}\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e em particular determinar o valor de w_{3}, a 3ª entrada de \vec{w}.

Passo 2

Idéias e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • A equação x-3y+2z=0 tem como coeficientes o vetor normal da superfície. Ou seja, o vetor normal a H é \vec{n}=(1,-3,2). Aqui cada componente de \vec{n} é o coeficiente de x,y,z na equação do plano.
  • Qual é a projeção ortogonal de um vetor sobre um subespaço que passa pela origem? Para uma reta gerada por \vec{n} a projeção de \vec{v} sobre essa reta é
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}.
Aqui \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto escalar (soma dos produtos das componentes) e \vec{n}\cdot\vec{n} é o quadrado da norma de \vec{n}.
  • Se H é o plano ortogonal a \vec{n}, então qualquer vetor \vec{v} se decompõe ortogonalmente como
\vec{v}=\vec{w}+\vec{u},
onde \vec{w}\in H e \vec{u} é paralelo a \vec{n}. Assim a projeção de \vec{v} sobre H é
\vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}.
Essa fórmula é prática: subtrai-se de \vec{v} a componente na direção do normal, sobrando a componente dentro do plano.

Passo 3

Identificar o vetor normal:
\vec{n}=(1,-3,2).

Passo 4

Calcular o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{n} passo a passo:
\vec{v}\cdot\vec{n}=(-9)\cdot 1 + (-7)\cdot(-3) + 8\cdot 2.
Agora calcular os termos:
(-9)\cdot 1 = -9,\qquad (-7)\cdot(-3)=21,\qquad 8\cdot 2=16.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{n} = -9 + 21 + 16 = 28.

Passo 5

Calcular \vec{n}\cdot\vec{n} (a norma ao quadrado de \vec{n}):
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+(-3)^2+2^2 = 1+9+4 = 14.

Passo 6

Calcular o coeficiente escalar da projeção na direção de \vec{n}:
\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}=\frac{28}{14}=2.

Passo 7

Calcular a projeção de \vec{v} sobre a direção de \vec{n}:
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=2\vec{n}=2(1,-3,2)=(2,-6,4).

Passo 8

Calcular \vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v} componente a componente:
\vec{w}=(-9,-7,8)-(2,-6,4)=(-9-2,\;-7-(-6),\;8-4).
Fazendo as contas:
\vec{w}=(-11,\,-1,\,4).

Passo 9

Verificação rápida (bom para a prova): confirmar que \vec{w} pertence a H calculando \vec{w}\cdot\vec{n}:
\vec{w}\cdot\vec{n}=(-11)\cdot1+(-1)\cdot(-3)+4\cdot2=-11+3+8=0,
logo \vec{w} satisfaz x-3y+2z=0 e está realmente em H. Tudo consistente.

Resposta

(D) 4

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