Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) -3
(F) -2
(G) -1
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) -3
(F) -2
(G) -1
Passo 1
O enunciado dá os subespaços de
:
Pede-se encontrar o único vetor
que pertence a
e que tem a forma
Ou seja, precisamos determinar
e
(em particular
) de modo que:
-
(ou seja é combinação linear dos geradores de ); -
(ou seja é ortogonal ao gerador de ).
Passo 2
Entendendo
. Dizer que um vetor pertence a
significa que existem escalares
e
tais que
Aqui
e
. Portanto existe
tais que
Calculando componentes, isso dá
Passo 3
Usando a informação
, igualamos a primeira coordenada:
Isto é uma equação linear envolvendo
e
. Também, a partir da decomposição temos
Passo 4
Entendendo
. O subespaço
é gerado por
. O complemento ortogonal
consiste dos vetores que são ortogonais a
, i.e. vetores
tais que
. Portanto impomos
Substituindo
e
na expressão do produto escalar:
Agora simplificamos passo a passo:
Dividindo por
para simplificar:
ou seja
Passo 5
Agora resolvemos o sistema linear para
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos:
Daí
:
Logo
.]
Passo 6
Com
e
calculamos as coordenadas restantes de
:
Portanto o vetor buscado é
. Note que esse vetor satisfaz tanto a condição de pertencer a
(foi escrito como combinação linear) quanto a de ser ortogonal a
.
Passo 7
Conclusão e verificação rápida (pra ficar seguro): a primeira coordenada é
como exigido; a combinação
comprova que está em
; e o produto escalar
confirma que está em
. Como resolvemos um sistema linear que deu solução única para
, o vetor na interseção com a forma pedida é único.
Resposta
(B)