Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(3,1,-3),(2,1,-5)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(-2,11,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-3, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -7
(B) -6
(C) -5
(D) -4
(E) -3
(F) -2
(G) -1

Passo 1

O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^{3}:
H=\operatorname{span}\{(3,1,-3),(2,1,-5)\} \qquad\text{e}\qquad M=\operatorname{span}\{(-2,11,1)\}.
Pede-se encontrar o único vetor \vec{x} que pertence a M^{\perp}\cap H e que tem a forma
\vec{x} = (-3,\,x_{2},\,x_{3}).
Ou seja, precisamos determinar x_{2} e x_{3} (em particular x_{3}) de modo que:
  • \vec{x}\in H (ou seja \vec{x} é combinação linear dos geradores de H);
  • \vec{x}\in M^{\perp} (ou seja \vec{x} é ortogonal ao gerador de M).

Passo 2

Entendendo \vec{x}\in H. Dizer que um vetor pertence a \operatorname{span}\{u,v\} significa que existem escalares a e b tais que
\vec{x}=a\,u+b\,v.
Aqui u=(3,1,-3) e v=(2,1,-5). Portanto existe a,b\in\mathbb{R} tais que
\vec{x}=a(3,1,-3)+b(2,1,-5).
Calculando componentes, isso dá
\vec{x}=(3a+2b,\;a+b,\;-3a-5b).

Passo 3

Usando a informação \vec{x}=(-3,x_{2},x_{3}), igualamos a primeira coordenada:
3a+2b=-3.
Isto é uma equação linear envolvendo a e b. Também, a partir da decomposição temos
x_{2}=a+b\qquad\text{e}\qquad x_{3}=-3a-5b.

Passo 4

Entendendo \vec{x}\in M^{\perp}. O subespaço M é gerado por m=(-2,11,1). O complemento ortogonal M^{\perp} consiste dos vetores que são ortogonais a m, i.e. vetores \vec{y} tais que \vec{y}\cdot m=0. Portanto impomos
\vec{x}\cdot m = 0.
Substituindo \vec{x}=( -3,\,a+b,\,-3a-5b) e m=(-2,11,1) na expressão do produto escalar:
(-3)(-2) + (a+b)(11) + (-3a-5b)(1) = 0.
Agora simplificamos passo a passo:
6 + 11a + 11b -3a -5b = 0,
6 + 8a + 6b = 0.
Dividindo por 2 para simplificar:
3 + 4a + 3b = 0,
ou seja
4a+3b = -3.

Passo 5

Agora resolvemos o sistema linear para a\) e \(b\): \[\begin{cases} 3a+2b=-3,\\[4pt] 4a+3b=-3. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos:
(4a+3b)-(3a+2b)=0 \quad\Rightarrow\quad a+b=0.
Daí b=-a\]. Substituindo em \(3a+2b=-3:
3a+2(-a)=-3 \quad\Rightarrow\quad a=-3.
Logo b=-a=3.]

Passo 6

Com a=-3 e b=3 calculamos as coordenadas restantes de \vec{x}:
x_{2}=a+b = -3+3 = 0,
x_{3}=-3a-5b = -3(-3)-5(3) = 9-15 = -6.
Portanto o vetor buscado é \vec{x}=(-3,0,-6). Note que esse vetor satisfaz tanto a condição de pertencer a H (foi escrito como combinação linear) quanto a de ser ortogonal a m.

Passo 7

Conclusão e verificação rápida (pra ficar seguro): a primeira coordenada é -3 como exigido; a combinação (-3,0,-6)=(-3)u + 3v comprova que está em H; e o produto escalar (-3,0,-6)\cdot(-2,11,1)=6+0-6=0 confirma que está em M^{\perp}. Como resolvemos um sistema linear que deu solução única para a,b, o vetor na interseção com a forma pedida é único.

Resposta

(B) -6

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