Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -3 \\\\ -3 \\\\ -1 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 8 \\\\ 3 \\\\ 4 \\\\ -1 \\\\ -6 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 3 \\\\ -3 \\\\ -1 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ 3 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 7 \\\\ -3 \\\\ -1 \\\\ 7 \\\\ 6 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(-17,22,7,-36,-22).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{5} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O que o problema pede e quais são os dados.
  • Pede-se a coordenada x_{5} do vetor \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta}, ou seja, a quinta entrada das coordenadas de \vec{v} na base \beta.
  • Dados (retirados do enunciado): a base ortogonal \beta tem, como quinta vetor, \;u_{5}=(7,-3,-1,7,6)\; e o vetor \vec{v}=(-17,22,7,-36,-22).
  • Dica do enunciado: “não é necessário resolver um sistema linear” — isso indica que usaremos propriedades da base ortogonal para obter a coordenada diretamente.

Passo 2

Conceito-chave e fórmula que vamos usar (explicado devagar).
  • Em \mathbb{R}^{5}, o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores a=(a_{1},\dots,a_{5}) e b=(b_{1},\dots,b_{5}) é definido por
\langle a,b\rangle = a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}+a_{5}b_{5}.
Isto é só somar os produtos das componentes correspondentes.
  • Se \{u_{1},\dots,u_{5}\} é uma base ortogonal (ou seja, \langle u_{i},u_{j}\rangle=0 para i\ne j), então a coordenada x_{i} de \vec{v} nessa base é dada por projeção:
x_{i}=\frac{\langle \vec{v},u_{i}\rangle}{\langle u_{i},u_{i}\rangle}.
  • Aqui u_{i} é o i-ésimo vetor da base; \langle u_{i},u_{i}\rangle é simplesmente a soma dos quadrados das componentes de u_{i} (o quadrado da norma).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso i=5: identificar u_{5} e calcular \langle u_{5},u_{5}\rangle.
  • Peguei do enunciado u_{5}=(7,-3,-1,7,6).
  • Calculamos \langle u_{5},u_{5}\rangle somando os quadrados das componentes:
\langle u_{5},u_{5}\rangle = 7^{2}+(-3)^{2}+(-1)^{2}+7^{2}+6^{2}.
  • Agora as contas passo a passo:
7^{2}=49,\quad (-3)^{2}=9,\quad (-1)^{2}=1,\quad 7^{2}=49,\quad 6^{2}=36.
\langle u_{5},u_{5}\rangle = 49+9+1+49+36 = 144.

Passo 4

Calcular \langle \vec{v},u_{5}\rangle componente a componente.
  • Peguei do enunciado \vec{v}=(-17,22,7,-36,-22).
  • Produto escalar:
\langle \vec{v},u_{5}\rangle = (-17)\cdot 7 + 22\cdot(-3) + 7\cdot(-1) + (-36)\cdot 7 + (-22)\cdot 6.
  • Faço cada produto separadamente:
(-17)\cdot 7 = -119,
22\cdot(-3) = -66,
7\cdot(-1) = -7,
(-36)\cdot 7 = -252,
(-22)\cdot 6 = -132.
  • Somando todos:
\langle \vec{v},u_{5}\rangle = -119 + (-66) + (-7) + (-252) + (-132).
-119-66=-185,\quad -185-7=-192,\quad -192-252=-444,\quad -444-132=-576.
Logo \langle \vec{v},u_{5}\rangle = -576.

Passo 5

Calcular a coordenada x_{5} usando a fórmula de projeção.
  • Pela fórmula:
x_{5}=\frac{\langle \vec{v},u_{5}\rangle}{\langle u_{5},u_{5}\rangle}=\frac{-576}{144}.
  • Dividindo:
\frac{576}{144}=4 \quad\Rightarrow\quad \frac{-576}{144}=-4.
  • Portanto x_{5}=-4. Isso confirma que não foi preciso resolver sistema linear algum — só produto escalar e soma de quadrados.

Passo 6

Interpretação final e correspondência com as alternativas.
  • O valor encontrado x_{5}=-4 corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A) -4

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