e o vetor \vec{v}=(-17,22,7,-36,-22).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{5} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O que o problema pede e quais são os dados.
Pede-se a coordenada x_{5} do vetor \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta}, ou seja, a quinta entrada das coordenadas de \vec{v} na base \beta.
Dados (retirados do enunciado): a base ortogonal \beta tem, como quinta vetor, \;u_{5}=(7,-3,-1,7,6)\; e o vetor \vec{v}=(-17,22,7,-36,-22).
Dica do enunciado: “não é necessário resolver um sistema linear” — isso indica que usaremos propriedades da base ortogonal para obter a coordenada diretamente.
Passo 2
Conceito-chave e fórmula que vamos usar (explicado devagar).
Em \mathbb{R}^{5}, o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores a=(a_{1},\dots,a_{5}) e b=(b_{1},\dots,b_{5}) é definido por
Isto é só somar os produtos das componentes correspondentes.
Se \{u_{1},\dots,u_{5}\} é uma base ortogonal (ou seja, \langle u_{i},u_{j}\rangle=0 para i\ne j), então a coordenada x_{i} de \vec{v} nessa base é dada por projeção: