Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá os subespaços de
:
e
Pede-se: encontrar o único vetor
que tem a forma
. Em particular, qual é o valor de
? As alternativas possíveis são listadas de (A) a (H).
Passo 2
Vamos traduzir o que significa "estar em
". Dizer que
significa que
é combinação linear dos vetores que geram
. Ou seja, existem escalares
e
tais que
Isto é a representação paramétrica de qualquer vetor em
. Vou usar essa representação para escrever as coordenadas de
em função de
e
.
Passo 3
Calculemos as coordenadas de
. Somando componente a componente obtemos
Como no enunciado temos a condição de que
, a primeira coordenada dá a equação
Esta será uma das equações do sistema para
e
.
Passo 4
Agora usemos a condição
. O subespaço
é gerado por
; portanto
é o conjunto dos vetores ortogonais a
. Ortogonalidade significa produto interno (produto escalar) nulo. Para dois vetores
e
, o produto escalar é
Portanto, a condição
implica
Passo 5
Substituímos
no produto escalar:
Calculemos termo a termo:
Somando os coeficientes de
e de
obtemos
Logo temos a segunda equação
Passo 6
Resolvendo o sistema formado por
da segunda equação isolamos
:
. Substituímos na primeira:
Portanto
E então
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos calcular a terceira coordenada
da forma
. Usando
e
,
Passo 8
Façamos a conta:
Assim obtemos o valor de
.
Passo 9
Checagem rápida: a primeira coordenada fica
(confere com a forma pedida) e o produto escalar com
dá zero (já usamos isso para obter
). Então tudo está consistente e existe um único vetor com a forma pedida.
Resposta
(E) 1