Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 3 \\\\ 8 \\\\ -6 \\\\ 4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 3 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ -3 \\\\ 1 \\\\ -2 \\\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ -2 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 7 \\\\ -3 \\\\ 7 \\\\ 6 \\\\ -1 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(-19,5,-32,-8,12).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{5} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma base ortogonal de \mathbb{R}^5
\beta=\left\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3,\mathbf{b}_4,\mathbf{b}_5\right\}
com vetores (escrevo só o \mathbf{b}_5 explicitamente quando for usá‑lo) e o vetor
\vec{v}=(-19,5,-32,-8,12).
A pergunta é: seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} na base \beta. Calcule a entrada \;x_{5} de \vec{x}.
Informações relevantes dadas: a base é ortogonal e \mathbf{b}_5 (o quinto vetor da base) é
\mathbf{b}_5=\begin{bmatrix}7\\\ -3\\\ 7\\\ 6\\\ -1\end{bmatrix}.
Dica do enunciado: não é necessário resolver sistema linear.

Passo 2

Conceito essencial (aqui a ideia que vamos usar): se \{\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_n\} é uma base ortogonal de \mathbb{R}^n e
\vec{v}=\sum_{i=1}^n x_i\,\mathbf{b}_i,
então, tomando o produto interno com \mathbf{b}_j, obtemos
\langle \vec{v},\mathbf{b}_j\rangle = \sum_{i=1}^n x_i \langle \mathbf{b}_i,\mathbf{b}_j\rangle.
Como a base é ortogonal, \langle \mathbf{b}_i,\mathbf{b}_j\rangle=0 para i\neq j, ficando apenas o termo i=j. Daí surge a fórmula prática
x_j=\frac{\langle \vec{v},\mathbf{b}_j\rangle}{\langle \mathbf{b}_j,\mathbf{b}_j\rangle}.
Explicação curta do que é o produto interno: para vetores em \mathbb{R}^5,
\langle \mathbf{u},\mathbf{w}\rangle = u_1w_1+u_2w_2+u_3w_3+u_4w_4+u_5w_5,
ou seja, soma dos produtos das componentes correspondentes. A norma ao quadrado é \langle \mathbf{b}_j,\mathbf{b}_j\rangle.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula para j=5:
x_5=\frac{\langle \vec{v},\mathbf{b}_5\rangle}{\langle \mathbf{b}_5,\mathbf{b}_5\rangle}.
Calculemos primeiro o produto interno \langle \vec{v},\mathbf{b}_5\rangle. Usando as componentes dadas,
\langle \vec{v},\mathbf{b}_5\rangle = (-19)\cdot 7 + 5\cdot(-3) + (-32)\cdot 7 + (-8)\cdot 6 + 12\cdot(-1).
Agora calculo cada termo:
(-19)\cdot 7 = -133,\quad 5\cdot(-3)=-15,\quad (-32)\cdot 7=-224,\quad (-8)\cdot 6=-48,\quad 12\cdot(-1)=-12.
Somando:
\langle \vec{v},\mathbf{b}_5\rangle = -133 -15 -224 -48 -12 = -432.

Passo 4

Agora calculo \langle \mathbf{b}_5,\mathbf{b}_5\rangle, a norma ao quadrado de \mathbf{b}_5:
\langle \mathbf{b}_5,\mathbf{b}_5\rangle = 7^2 + (-3)^2 + 7^2 + 6^2 + (-1)^2.
Calculando:
7^2=49,\; (-3)^2=9,\; 7^2=49,\; 6^2=36,\; (-1)^2=1.
Somando:
\langle \mathbf{b}_5,\mathbf{b}_5\rangle = 49+9+49+36+1 = 144.

Passo 5

Finalmente aplico a fórmula:
x_5=\frac{\langle \vec{v},\mathbf{b}_5\rangle}{\langle \mathbf{b}_5,\mathbf{b}_5\rangle}=\frac{-432}{144}=-3.

Resposta

(B) -3

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