Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I -
é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
não é um subespaço vetorial.
III - O núcleo de uma rotação em
não é subespaço vetorial
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I -
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
III - O núcleo de uma rotação em
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmativas e pede escolher quais são verdadeiras:
I - O conjunto é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo não é um subespaço vetorial.
III - O núcleo de uma rotação em não é subespaço vetorial.
As informações relevantes que temos: os conjuntos descritos em I e II são definidos por condições lineares (equação linear e sistema homogêneo). Em III fala-se do “núcleo” (ou seja, o conjunto de vetores que o operador linear envia em ) de uma rotação em
. A tarefa é decidir a veracidade de cada afirmativa.
I - O conjunto
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
III - O núcleo de uma rotação em
As informações relevantes que temos: os conjuntos descritos em I e II são definidos por condições lineares (equação linear e sistema homogêneo). Em III fala-se do “núcleo” (ou seja, o conjunto de vetores que o operador linear envia em
Passo 2
Primeiro vamos revisar com calma o que significa “subespaço vetorial” — isso é essencial e vai aparecer em todas as verificações.
Definição prática: um subconjunto é subespaço vetorial se e só se:
Definição prática: um subconjunto
-
contém o vetor nulo . -
é fechado sob soma: se e então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Essas três propriedades equivalem a dizer queé um espaço vetorial por si só (com as mesmas operações de ). Uma maneira rápida de reconhecer subespaços: conjuntos solução de equações lineares homogêneas ou núcleos (kernels) de transformações lineares são subespaços.
Passo 3
Analisando I: o conjunto é
Vou mostrar passo a passo que
é subespaço.
Verificação (contém o zero): se
e
então
. Logo
.
Fechamento sob soma: tome
e
. Pelas condições,
Somando as duas igualdades:
Portanto
satisfaz a mesma relação e
.
Fechamento sob escalar: tome
e
com
. Então
logo
satisfaz a relação e
.
Conclusão para I:
verifica as três propriedades e, portanto, é subespaço vetorial. (Uma observação alternativa:
é o núcleo da aplicação linear
dada por
; núcleos de aplicações lineares são subespaços.)
Passo 4
Analisando II: o enunciado diz que “o conjunto solução do sistema linear homogêneo
não é um subespaço vetorial.”
Explicação e prova: o conjunto solução desse sistema é exatamente o núcleo (kernel) da matriz
, isto é
Mostramos que
satisfaz as propriedades de subespaço: claramente
satisfaz
, então
. Se
então
e
, e portanto
logo
. Para escalar
,
logo
. Assim
é um subespaço vetorial. Portanto a afirmativa II (que diz que não é subespaço) é falsa.
Passo 5
Analisando III: “O núcleo de uma rotação em
não é subespaço vetorial.”
Primeiro, o que é “núcleo” aqui? Em álgebra linear, o núcleo (kernel) de uma transformação linear
é o conjunto
. Agora, uma rotação (linear) em
— pense numa rotação em torno de algum eixo que passa pela origem — é uma transformação linear ortogonal. Propriedades importantes:
- Uma rotação linear é invertível (o inverso é a rotação no ângulo negativo), portanto sua determinanté
na verdade para rotações propriamente ditas é ; o ponto chave é: a transformação é injetiva. - Se uma transformação linear é injetiva então seu kernel é o conjunto trivial
(pois único vetor enviado para é o zero).
O conjuntoé sim um subespaço vetorial (o subespaço trivial). Logo o núcleo de uma rotação linear em é um subespaço (geralmente trivial). Assim a afirmativa III, que afirma que esse núcleo não é subespaço, é falsa.
Observação adicional (para evitar confusão): se alguém, por “núcleo”, quisesse dizer “eixo de rotação” (conjunto de vetores que são fixos pela rotação), esse conjunto é também um subespaço (é uma reta passando pela origem) — mas aqui a terminologia padrão “núcleo” refere-se ao kernel
. De qualquer forma, em nenhum dos sentidos a afirmação “não é subespaço” fica correta.
Passo 6
Resumo das conclusões:
- I é verdadeira.
- II é falsa.
- III é falsa.
Portanto, apenas a afirmativa I é verdadeira.
Resposta
(B) Só I é verdadeira.