Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=6 z-6 y\right\} é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.
III - O núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmativas e pede escolher quais são verdadeiras:
I - O conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x=6z-6y\} é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.
III - O núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial.
As informações relevantes que temos: os conjuntos descritos em I e II são definidos por condições lineares (equação linear e sistema homogêneo). Em III fala-se do “núcleo” (ou seja, o conjunto de vetores que o operador linear envia em \overrightarrow{0}) de uma rotação em \mathbb{R}^3. A tarefa é decidir a veracidade de cada afirmativa.

Passo 2

Primeiro vamos revisar com calma o que significa “subespaço vetorial” — isso é essencial e vai aparecer em todas as verificações.
Definição prática: um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço vetorial se e só se:
  1. W contém o vetor nulo \overrightarrow{0}.
  2. W é fechado sob soma: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R} então c u\in W.
    Essas três propriedades equivalem a dizer que W é um espaço vetorial por si só (com as mesmas operações de \mathbb{R}^n). Uma maneira rápida de reconhecer subespaços: conjuntos solução de equações lineares homogêneas ou núcleos (kernels) de transformações lineares são subespaços.

Passo 3

Analisando I: o conjunto é
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x=6z-6y\}.
Vou mostrar passo a passo que S é subespaço.
Verificação (contém o zero): se y=0 e z=0 então x=6\cdot 0-6\cdot 0=0. Logo \overrightarrow{0}=(0,0,0)\in S.
Fechamento sob soma: tome u=(x_1,y_1,z_1)\in S e v=(x_2,y_2,z_2)\in S. Pelas condições,
x_1=6z_1-6y_1,\qquad x_2=6z_2-6y_2.
Somando as duas igualdades:
x_1+x_2 = 6(z_1+z_2)-6(y_1+y_2).
Portanto u+v=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2) satisfaz a mesma relação e u+v\in S.
Fechamento sob escalar: tome c\in\mathbb{R} e u=(x_1,y_1,z_1)\in S com x_1=6z_1-6y_1. Então
c x_1 = c(6z_1-6y_1)=6(cz_1)-6(cy_1),
logo c u=(c x_1, c y_1, c z_1) satisfaz a relação e c u\in S.
Conclusão para I: S verifica as três propriedades e, portanto, é subespaço vetorial. (Uma observação alternativa: S é o núcleo da aplicação linear f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} dada por f(x,y,z)=x-6z+6y; núcleos de aplicações lineares são subespaços.)

Passo 4

Analisando II: o enunciado diz que “o conjunto solução do sistema linear homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.”
Explicação e prova: o conjunto solução desse sistema é exatamente o núcleo (kernel) da matriz A, isto é
\ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n\mid A\vec{x}=\overrightarrow{0}\}.
Mostramos que \ker(A) satisfaz as propriedades de subespaço: claramente \overrightarrow{0} satisfaz A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, então \overrightarrow{0}\in\ker(A). Se x,y\in\ker(A) então Ax=\overrightarrow{0} e Ay=\overrightarrow{0}, e portanto
A(x+y)=Ax+Ay=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0},
logo x+y\in\ker(A). Para escalar c\in\mathbb{R},
A(cx)=c(Ax)=c\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0},
logo cx\in\ker(A). Assim \ker(A) é um subespaço vetorial. Portanto a afirmativa II (que diz que não é subespaço) é falsa.

Passo 5

Analisando III: “O núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial.”
Primeiro, o que é “núcleo” aqui? Em álgebra linear, o núcleo (kernel) de uma transformação linear T é o conjunto \{v\mid T(v)=\overrightarrow{0}\}. Agora, uma rotação (linear) em \mathbb{R}^3 — pense numa rotação em torno de algum eixo que passa pela origem — é uma transformação linear ortogonal. Propriedades importantes:
  • Uma rotação linear é invertível (o inverso é a rotação no ângulo negativo), portanto sua determinanté \pm 1 na verdade para rotações propriamente ditas é 1; o ponto chave é: a transformação é injetiva.
  • Se uma transformação linear é injetiva então seu kernel é o conjunto trivial \{\overrightarrow{0}\} (pois único vetor enviado para \overrightarrow{0} é o zero).
    O conjunto \{\overrightarrow{0}\} é sim um subespaço vetorial (o subespaço trivial). Logo o núcleo de uma rotação linear em \mathbb{R}^3 é um subespaço (geralmente trivial). Assim a afirmativa III, que afirma que esse núcleo não é subespaço, é falsa.
Observação adicional (para evitar confusão): se alguém, por “núcleo”, quisesse dizer “eixo de rotação” (conjunto de vetores que são fixos pela rotação), esse conjunto é também um subespaço (é uma reta passando pela origem) — mas aqui a terminologia padrão “núcleo” refere-se ao kernel T(v)=0. De qualquer forma, em nenhum dos sentidos a afirmação “não é subespaço” fica correta.

Passo 6

Resumo das conclusões:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
  • III é falsa.
Portanto, apenas a afirmativa I é verdadeira.

Resposta

(B) Só I é verdadeira.

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