Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(2,1,3),(5,3,11)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(2,-9,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-2, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
(F) 8
(G) 9
(H) 10

Passo 1

O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^3:
H=\operatorname{span}\{(2,1,3),(5,3,11)\}
e
M=\operatorname{span}\{(2,-9,1)\}.
A tarefa: encontrar o único vetor \vec{x}\in M^{\perp}\cap H que tenha a forma \vec{x}=(-2,x_2,x_3) e, em particular, determinar o valor de x_3.
Informações relevantes dadas:
  • Os geradores de H são (2,1,3) e (5,3,11).
  • O gerador de M é (2,-9,1).
  • Queremos um vetor em H que seja também ortogonal a (2,-9,1) (isto é, esteja em M^{\perp}) e cujo primeiro componente seja -2.

Passo 2

Representar um vetor genérico de H como combinação linear dos vetores geradores. Seja a,b\in\mathbb{R}. Então qualquer \vec{v}\in H pode ser escrito como
\vec{v}=a(2,1,3)+b(5,3,11).
Calculando componente a componente obtemos
\vec{v}=(2a+5b,\;a+3b,\;3a+11b).

Passo 3

Escrever a condição de pertencer a M^{\perp}. Um vetor está em M^{\perp} se for ortogonal ao gerador de M, ou seja, o produto escalar com (2,-9,1) é zero. Para \vec{v} obtido acima, a condição é
(2a+5b,\,a+3b,\,3a+11b)\cdot(2,-9,1)=0.
Agora calculamos esse produto escalar passo a passo.

Passo 4

Calcular o produto escalar explicitamente:
\begin{aligned} (2a+5b)\cdot 2 &+ (a+3b)\cdot(-9) + (3a+11b)\cdot 1 = 0,\\[4pt] 4a+10b &-9a-27b +3a+11b = 0. \end{aligned}
Somando termos semelhantes:
(4a-9a+3a) + (10b-27b+11b) = 0,
(-2a) + (-6b) = 0.
Logo
-2a-6b=0 \quad\Longrightarrow\quad a+3b=0.]

Passo 5

Usar a relação entre a e b e a condição sobre a primeira componente igual a -2. Da relação temos
a=-3b.
A primeira componente de \vec{v} é 2a+5b. Substituindo a=-3b:
2(-3b)+5b = -6b+5b = -b.
Queremos que essa primeira componente seja -2, isto é -b=-2. Portanto
b=2 \qquad\text{e}\qquad a=-3b=-6.

Passo 6

Calcular as outras componentes com a=-6 e b=2. A segunda componente:
x_2 = a+3b = -6 + 3\cdot 2 = -6 + 6 = 0.
A terceira componente:
x_3 = 3a+11b = 3(-6) + 11\cdot 2 = -18 + 22 = 4.
Portanto o vetor pedido é \vec{x}=(-2,0,4). Verificação rápida (opcional): ele está em H por construção e seu produto escalar com (2,-9,1) é
(-2,0,4)\cdot(2,-9,1)= -4 + 0 + 4 = 0,
confirmando que pertence a M^{\perp}.

Resposta

x_3 = 4

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