Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
(F) 8
(G) 9
(H) 10
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
(F) 8
(G) 9
(H) 10
Passo 1
O enunciado dá os subespaços de
:
e
A tarefa: encontrar o único vetor
que tenha a forma
e, em particular, determinar o valor de
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Os geradores de
são e . - O gerador de
é . - Queremos um vetor em
que seja também ortogonal a (isto é, esteja em ) e cujo primeiro componente seja .
Passo 2
Representar um vetor genérico de
como combinação linear dos vetores geradores. Seja
. Então qualquer
pode ser escrito como
Calculando componente a componente obtemos
Passo 3
Escrever a condição de pertencer a
. Um vetor está em
se for ortogonal ao gerador de
, ou seja, o produto escalar com
é zero. Para
obtido acima, a condição é
Agora calculamos esse produto escalar passo a passo.
Passo 4
Calcular o produto escalar explicitamente:
Somando termos semelhantes:
Logo
Passo 5
Usar a relação entre
e
e a condição sobre a primeira componente igual a
. Da relação temos
A primeira componente de
é
. Substituindo
:
Queremos que essa primeira componente seja
, isto é
. Portanto
Passo 6
Calcular as outras componentes com
e
. A segunda componente:
A terceira componente:
Portanto o vetor pedido é
. Verificação rápida (opcional): ele está em
por construção e seu produto escalar com
é
confirmando que pertence a
.