Q18: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se B possui uma base ortogonal de autovetores, então B é simétrica.
II - Se \vec{v} e \vec{u} são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então \langle\vec{v}, \vec{u}\rangle=0.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá duas afirmativas sobre matrizes e autovetores e pede que decidamos quais são verdadeiras:
I - Se B possui uma base ortogonal de autovetores, então B é simétrica.
II - Se \vec{v} e \vec{u} são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então \langle\vec{v}, \vec{u}\rangle=0.
A tarefa é dizer quais afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (A), (B), (C) e (D).

Passo 2

Vamos revisar com calma os conceitos que vamos usar (explicando passo a passo, como se estivéssemos na prova):
  • Uma “base ortogonal de autovetores” significa que existe um conjunto \{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n\} de autovetores de B que forma uma base de \mathbb{R}^n (ou do espaço considerado) e que esses vetores são mutuamente ortogonais: \langle\vec{v}_i,\vec{v}_j\rangle=0 para i\neq j. Se normalizamos cada vetor, obtemos uma base ortonormal.
  • Se colocarmos esses vetores normalizados como colunas de uma matriz Q, então Q é uma matriz ortogonal, o que significa que
Q^T Q = I.
Matriz ortogonal tem a propriedade Q^{-1}=Q^T.
  • “Diagonalizar” uma matriz por semelhança significa escrever B = Q D Q^{-1}. Se Q é ortogonal e os vetores são autovetores reais, então B = Q D Q^T com D diagonal (os autovalores na diagonal).
  • Produto interno padrão no espaço euclidiano é \langle \vec{x},\vec{y}\rangle = \vec{x}^T \vec{y}. Para matrizes simétricas usaremos a propriedade \langle A\vec{x},\vec{y}\rangle = \langle \vec{x},A\vec{y}\rangle (que surge de A^T=A).

Passo 3

Prova de I (mostrar que é verdadeira): suponha que B tem uma base ortogonal de autovetores. Seja \{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n\} essa base e normalize os vetores para que sejam unitários; forme a matriz Q cujas colunas são \vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n. Então Q é ortogonal, isto é,
Q^T Q = I.
Sejam \lambda_1,\dots,\lambda_n os autovalores associados: B\vec{v}_i=\lambda_i\vec{v}_i. Então, escrevendo isso em bloco, temos
B Q = Q D,
onde D é a matriz diagonal com entradas D_{ii}=\lambda_i. Multiplicando à direita por Q^T (que é Q^{-1}), obtemos
B = Q D Q^T.
Agora transpondo B,
B^T = (Q D Q^T)^T.
Usando as regras de transposição (XYZ)^T = Z^T Y^T X^T e lembrando que Q^T transposto volta a ser Q e que D é diagonal (portanto D^T = D), obtemos
B^T = Q D^T Q^T = Q D Q^T = B.
Logo B é simétrica. Observação didática: aqui usamos que os autovetores são reais (afetando que D é real); se há uma base ortogonal real de autovetores então os autovalores correspondentes são reais e a decomposição acima vale. Portanto a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Prova de II (mostrar que é verdadeira): seja A uma matriz simétrica (troco de letra apenas por clareza) e suponha que \vec{v} e \vec{u} são autovetores de A com autovalores \lambda e \mu respectivamente, e que \lambda\neq\mu. Ou seja,
A\vec{v}=\lambda\vec{v},\qquad A\vec{u}=\mu\vec{u}.
Considere o produto interno \langle A\vec{v},\vec{u}\rangle. Usando a definição de autovetor,
\langle A\vec{v},\vec{u}\rangle = \langle \lambda\vec{v},\vec{u}\rangle = \lambda \langle \vec{v},\vec{u}\rangle.
Por outro lado, porque A é simétrica, temos \langle A\vec{v},\vec{u}\rangle = \langle \vec{v},A\vec{u}\rangle. Usando o fato A\vec{u}=\mu\vec{u},
\langle A\vec{v},\vec{u}\rangle = \langle \vec{v},\mu\vec{u}\rangle = \mu \langle \vec{v},\vec{u}\rangle.
Igualando as duas expressões para \langle A\vec{v},\vec{u}\rangle obtemos
\lambda \langle \vec{v},\vec{u}\rangle = \mu \langle \vec{v},\vec{u}\rangle.
Como \lambda\neq\mu, a única possibilidade é
\langle \vec{v},\vec{u}\rangle = 0.
Isso mostra que autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica são ortogonais. Portanto a afirmativa II também é verdadeira.

Passo 5

Conclusão das duas provas: tanto a afirmativa I quanto a afirmativa II são verdadeiras. Logo a alternativa correta é a que indica que todas são verdadeiras.

Resposta

(D)

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