Q18: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
possui uma base ortogonal de autovetores, então
é simétrica.
II - Se
e
são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então
.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - Se
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá duas afirmativas sobre matrizes e autovetores e pede que decidamos quais são verdadeiras:
I - Se possui uma base ortogonal de autovetores, então
é simétrica.
II - Se e
são autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica, então
.
A tarefa é dizer quais afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (A), (B), (C) e (D).
I - Se
II - Se
A tarefa é dizer quais afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (A), (B), (C) e (D).
Passo 2
Vamos revisar com calma os conceitos que vamos usar (explicando passo a passo, como se estivéssemos na prova):
- Uma “base ortogonal de autovetores” significa que existe um conjunto
de autovetores de que forma uma base de (ou do espaço considerado) e que esses vetores são mutuamente ortogonais: para . Se normalizamos cada vetor, obtemos uma base ortonormal. - Se colocarmos esses vetores normalizados como colunas de uma matriz
, então é uma matriz ortogonal, o que significa que
Matriz ortogonal tem a propriedade
.
- “Diagonalizar” uma matriz por semelhança significa escrever
. Se é ortogonal e os vetores são autovetores reais, então com diagonal (os autovalores na diagonal). - Produto interno padrão no espaço euclidiano é
. Para matrizes simétricas usaremos a propriedade (que surge de ).
Passo 3
Prova de I (mostrar que é verdadeira): suponha que
tem uma base ortogonal de autovetores. Seja
essa base e normalize os vetores para que sejam unitários; forme a matriz
cujas colunas são
. Então
é ortogonal, isto é,
Sejam
os autovalores associados:
. Então, escrevendo isso em bloco, temos
onde
é a matriz diagonal com entradas
. Multiplicando à direita por
(que é
), obtemos
Agora transpondo
,
Usando as regras de transposição
e lembrando que
transposto volta a ser
e que
é diagonal (portanto
), obtemos
Logo
é simétrica. Observação didática: aqui usamos que os autovetores são reais (afetando que
é real); se há uma base ortogonal real de autovetores então os autovalores correspondentes são reais e a decomposição acima vale. Portanto a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Prova de II (mostrar que é verdadeira): seja
uma matriz simétrica (troco de letra apenas por clareza) e suponha que
e
são autovetores de
com autovalores
e
respectivamente, e que
. Ou seja,
Considere o produto interno
. Usando a definição de autovetor,
Por outro lado, porque
é simétrica, temos
. Usando o fato
,
Igualando as duas expressões para
obtemos
Como
, a única possibilidade é
Isso mostra que autovetores associados a autovalores distintos de uma matriz simétrica são ortogonais. Portanto a afirmativa II também é verdadeira.
Passo 5
Conclusão das duas provas: tanto a afirmativa I quanto a afirmativa II são verdadeiras. Logo a alternativa correta é a que indica que todas são verdadeiras.
Resposta
(D)