Q17: Seja A uma matriz 2 \times 2 cujos autovalores são -8 e 2 associados, respectivamente, a \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
Defina M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{8} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right] M^{-1}
(B) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{8} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right] M
(C) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}8 & 0 \\\\ 0 & -2\end{array}\right] M
(D) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-8 & 0 \\\\ 0 & 2\end{array}\right] M
(E) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-8 & 0 \\\\ 0 & 2\end{array}\right] M^{-1}
(F) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}8 & 0 \\\\ 0 & -2\end{array}\right] M^{-1}
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que escolhamos a expressão correta para A^{-1}:
A é uma matriz 2\times2.
Os autovalores de A são -8 e 2, respectivamente associados a \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
Define-se M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right] (ou seja, M tem como colunas os autovetores na mesma ordem dos autovalores).
Precisamos identificar qual das alternativas (A) a (F) representa corretamente A^{-1}.
Passo 2
Interpretação das informações: como as colunas de M são autovetores distintos (\vec{v}_1 e \vec{v}_2), assumimos que são linearmente independentes e que M é invertível. Nessa situação A é diagonalizável e pode ser escrita na forma de decomposição espectral
A = M D M^{-1},
onde D é a matriz diagonal cujas entradas diagonais são os autovalores colocados na mesma ordem das colunas de M. Pelo enunciado, isto é
D=\begin{pmatrix}-8 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Explicação rápida do porquê: por construção, A\vec{v}_1=-8\vec{v}_1 e A\vec{v}_2=2\vec{v}_2. Escrevendo essas relações para as colunas de M resulta exatamente na igualdade A M = M D, que equivale a A = M D M^{-1}.]
Passo 3
Queremos A^{-1}. Use a propriedade do inverso de um produto de matrizes: para matrizes invertíveis X,Y,Z,
(XYZ)^{-1}=Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}.
Aplique isso a A = M D M^{-1}. Tomando inverso dos dois lados,
A^{-1} = (M D M^{-1})^{-1}.
Usando a propriedade acima com X=M, Y=D, Z=M^{-1} obtemos
A^{-1} = (M^{-1})^{-1} D^{-1} M^{-1}.
Como (M^{-1})^{-1}=M, isso simplifica para
A^{-1} = M D^{-1} M^{-1}.
Observação importante: a ordem aqui é crucial — o inverso fica com M à esquerda, D^{-1} no meio e M^{-1} à direita.
Passo 4
Calcule D^{-1}. Para uma matriz diagonal, o inverso é simplesmente a diagonal formada pelos inversos dos elementos diagonais (desde que nenhum deles seja zero). Assim, com
Explicando devagar: o inverso de -8 é -1/8 e o inverso de 2 é 1/2; os elementos fora da diagonal continuam zero.]
Passo 5
Substitua D^{-1} na expressão de A^{-1}:
A^{-1} = M \begin{pmatrix}-\dfrac{1}{8} & 0\\[6pt]0 & \dfrac{1}{2}\end{pmatrix} M^{-1}.
Isso mostra explicitamente que A^{-1} tem a mesma base de autovetores (mesmas colunas de M), com autovalores invertidos (recíprocos) -\tfrac{1}{8} e \tfrac{1}{2}.]
Passo 6
Compare com as alternativas dadas. A expressão obtida coincide exatamente com a alternativa (A)
As demais alternativas erram a ordem das matrizes (por exemplo, M^{-1}\,\cdot\,\text{diagonal}\,\cdot\,M é uma similaridade diferente) ou colocam sinais e valores incorretos (como \,8 em vez de -\tfrac{1}{8}, confundindo inverso com negativo).]