Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2
Passo 1
O enunciado dá os subespaços de
:
e
Pede-se: encontrar o único vetor
que pertence a
e que tem a forma
. A pergunta final é: qual é o valor de
?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Um vetor
pode ser escrito como combinação linear dos geradores de . - Um vetor
significa que é ortogonal a todo gerador de ; como é gerado por , basta que . - Há a condição adicional de que a primeira componente de
é .
Passo 2
Como
, escrevemos
como combinação linear desses vetores. Ou seja, existiriam escalares
e
tais que
Agora vou desenvolver essa soma componte a componente para ficar claro o que cada coordenada vale.
Passo 3
Calculando as coordenadas de
em função de
e
, temos:
Vou explicar: somamos coordenada a coordenada — por exemplo, a primeira coordenada é
porque vem de
multiplicado por
mais
multiplicado por
. O mesmo para as outras.
Passo 4
Impondo a condição de forma pedida, a primeira coordenada deve ser
. Portanto obtemos a equação
Essa é uma equação linear em
e
.
Passo 5
Agora imponho que
. Definição e fórmula: dois vetores são ortogonais quando o produto escalar (dot product) é zero. Para vetores
e
, o produto escalar é
Aqui queremos
. Substituindo
obtemos:
Vou simplificar essa soma passo a passo:
Agora agrupo os termos em
e os termos em
:
para :
, para
:
. Logo a equação fica
para
Dividindo por
(permitido porque é não nulo), obtém-se
Passo 6
Agora temos o sistema linear simples em
Vou resolver por substituição: da segunda equação
.]
Passo 7
Com
e
, calculo a terceira coordenada de
, que é
. Substituindo:
Também posso, por verificação, escrever o vetor completo:
que de fato tem primeira componente
e é ortogonal a
porque
.