Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(3,1,2),(2,1,3)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(1,-7,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(2, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2

Passo 1

O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^{3}:
H=\operatorname{span}\{(3,1,2),(2,1,3)\}
e
M=\operatorname{span}\{(1,-7,1)\}.
Pede-se: encontrar o único vetor \vec{x} que pertence a M^{\perp}\cap H e que tem a forma \vec{x}=\left(2,x_{2},x_{3}\right). A pergunta final é: qual é o valor de x_{3}?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Um vetor \vec{x}\in H pode ser escrito como combinação linear dos geradores de H.
  • Um vetor \vec{x}\in M^{\perp} significa que \vec{x} é ortogonal a todo gerador de M; como M é gerado por (1,-7,1), basta que \vec{x}\cdot(1,-7,1)=0.
  • Há a condição adicional de que a primeira componente de \vec{x} é 2.

Passo 2

Como \vec{x}\in H=\operatorname{span}\{(3,1,2),(2,1,3)\}, escrevemos \vec{x} como combinação linear desses vetores. Ou seja, existiriam escalares a e b tais que
\vec{x}=a(3,1,2)+b(2,1,3).
Agora vou desenvolver essa soma componte a componente para ficar claro o que cada coordenada vale.

Passo 3

Calculando as coordenadas de \vec{x} em função de a e b, temos:
\vec{x}=(3a+2b,\; a+b,\; 2a+3b).
Vou explicar: somamos coordenada a coordenada — por exemplo, a primeira coordenada é 3a+2b porque vem de 3 multiplicado por a mais 2 multiplicado por b. O mesmo para as outras.

Passo 4

Impondo a condição de forma pedida, a primeira coordenada deve ser 2. Portanto obtemos a equação
3a+2b=2.
Essa é uma equação linear em a e b.

Passo 5

Agora imponho que \vec{x}\in M^{\perp}. Definição e fórmula: dois vetores são ortogonais quando o produto escalar (dot product) é zero. Para vetores u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3), o produto escalar é
u\cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3.
Aqui queremos \vec{x}\cdot(1,-7,1)=0. Substituindo \vec{x}=(3a+2b,\;a+b,\;2a+3b) obtemos:
(3a+2b)\cdot 1 + (a+b)\cdot(-7) + (2a+3b)\cdot 1 = 0.
Vou simplificar essa soma passo a passo:
3a+2b -7(a+b) + 2a+3b = 0.
Agora agrupo os termos em a e os termos em b:
para a: 3 -7 + 2 = -2, para b: 2 -7 + 3 = -2. Logo a equação fica
-2a -2b = 0.
Dividindo por -2 (permitido porque é não nulo), obtém-se
a + b = 0.

Passo 6

Agora temos o sistema linear simples em a\) e \(b\): \[\begin{cases} 3a+2b=2,\\[4pt] a+b=0. \end{cases}
Vou resolver por substituição: da segunda equação b=-a\]. Substituo na primeira: \[3a + 2(-a) = 2 \quad\implies\quad 3a -2a = 2 \quad\implies\quad a = 2.\] Então \(b=-a=-2.]

Passo 7

Com a=2 e b=-2, calculo a terceira coordenada de \vec{x}, que é x_{3}=2a+3b. Substituindo:
x_{3}=2\cdot 2 + 3\cdot(-2) = 4 -6 = -2.
Também posso, por verificação, escrever o vetor completo:
\vec{x}=(3a+2b,\;a+b,\;2a+3b)=(3\cdot2+2\cdot(-2),\;2+(-2),\;-2)=(2,0,-2),
que de fato tem primeira componente 2 e é ortogonal a (1,-7,1) porque 1\cdot2 + (-7)\cdot0 + 1\cdot(-2)=0.

Resposta

-2

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