Q25. Um automóvel A está trafegando para leste com uma velocidade constante de 25 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Quando passa um cruzamento, um automóvel B, que estava parado a 30 m ao norte do cruzamento, dirige-se para o sul com uma aceleração constante de 1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine a posição, velocidade e aceleração de B relativas a A , cinco segundos após A passar o cruzamento. \mathbf{R}: \vec{r}=(-35 \hat{\mathrm{i}}+15 \hat{\mathrm{j}}) \mathrm{ms}^{-1} ; \vec{v}=(-7 \hat{\mathrm{i}}-6 \hat{\mathrm{j}}) \mathrm{ms}^{-1} ; \vec{a}=-1,2 \hat{\mathrm{j}} \mathrm{ms}^{-2}.

Passo 1

O enunciado diz que um carro A passa em um cruzamento e segue para leste com velocidade constante de 25 km/h, enquanto um carro B, parado inicialmente 30 m ao norte do cruzamento, parte com aceleração constante de 1{,}2 m/ s^{2} para o sul. Queremos a posição, velocidade e aceleração de B relativas a A, em t=5 s. Adotamos sistema de coordenadas no plano, com origem no cruzamento, +x para leste e +y para norte. Definimos
\vec r_{B/A} = \vec r_B - \vec r_A,\quad \vec v_{B/A} = \vec v_B - \vec v_A,\quad \vec a_{B/A} = \vec a_B - \vec a_A.

Passo 2

Convertendo a velocidade de A para metros por segundo:
v_A = \frac{25}{3,6}\,\mathrm{m/s} \approx 6{,}944\,\mathrm{m/s}.
Como A se move com velocidade constante,
\vec v_A(t) = 6{,}944\,\hat\imath,\quad \vec r_A(t) = (6{,}944\,t)\,\hat\imath.

Passo 3

Para B temos condições iniciais
\vec r_B(0) = 30\,\hat\jmath,\quad \vec v_B(0)=\vec0,\quad \vec a_B = -1{,}2\,\hat\jmath\,\mathrm{m/s^2}.
Como a aceleração é constante,
\vec v_B(t) = -1{,}2\,t\,\hat\jmath,\quad \vec r_B(t) = 30\,\hat\jmath - \tfrac12\,(1{,}2)\,t^2\,\hat\jmath = \bigl(30 - 0{,}6\,t^2\bigr)\,\hat\jmath.

Passo 4

Em t=5 s:
\vec r_A(5) = 6{,}944\times5\,\hat\imath = 34{,}72\,\hat\imath,\quad \vec r_B(5) = \bigl(30 - 0{,}6\times25\bigr)\,\hat\jmath = 15\,\hat\jmath.
Logo
\vec r_{B/A} = \vec r_B(5) - \vec r_A(5) = -34{,}72\,\hat\imath + 15\,\hat\jmath\approx -35\,\hat\imath + 15\,\hat\jmath\;\mathrm{m}.

Passo 5

Ainda em t=5 s:
\vec v_A = 6{,}944\,\hat\imath,\quad \vec v_B(5) = -1{,}2\times5\,\hat\jmath = -6\,\hat\jmath.
Portanto
\vec v_{B/A} = \vec v_B(5)-\vec v_A = -6\,\hat\jmath - 6{,}944\,\hat\imath \approx -7\,\hat\imath - 6\,\hat\jmath\;\mathrm{m/s}.

Passo 6

Como \vec a_A=\vec0 e \vec a_B=-1{,}2\,\hat\jmath, fica
\vec a_{B/A} = \vec a_B - \vec a_A = -1{,}2\,\hat\jmath\;\mathrm{m/s^2}.

Resposta

\displaystyle \vec r = (-35\,\hat\imath + 15\,\hat\jmath)\,\mathrm{m};\quad \vec v = (-7\,\hat\imath - 6\,\hat\jmath)\,\mathrm{m/s};\quad \vec a = -1{,}2\,\hat\jmath\,\mathrm{m/s^2}.

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