Q24. Um projétil é disparado com uma velocidade inicial de 240 \mathrm{~m} / \mathrm{s} contra um alvo situado 600 m acima da arma e a uma distância de 3600 m . Determine o valor do ângulo \alpha de disparo. \mathbf{R} : 31^{\circ} \mathrm{ou} 69^{\circ}.

Passo 1

O enunciado diz que um projétil sai com velocidade inicial v_{0}=240,m/s e atinge um alvo que está a x=3600,m na horizontal e y=600,m acima do ponto de disparo. O conteúdo é o movimento parabólico sem resistência do ar, em que escrevemos as componentes horizontal e vertical da posição e eliminamos o tempo para obter a equação da trajetória.

Passo 2

Na direção horizontal não há aceleração, então
x = v_{0}\cos\alpha\;t
e
t = \frac{x}{v_{0}\cos\alpha}.
Na direção vertical temos
y = v_{0}\sin\alpha\;t - \frac{1}{2}\,g\,t^{2}.
Substituindo t em função de x obtém-se a equação da curva do projétil:
y = x\tan\alpha \;-\;\frac{g\,x^{2}}{2\,v_{0}^{2}\,\cos^{2}\alpha}\,.

Passo 3

Definindo T=\tan\alpha e usando \cos^{2}\alpha=1/(1+T^{2}), a equação vira
y \;=\; x\,T \;-\;\frac{g\,x^{2}}{2\,v_{0}^{2}}\,(1+T^{2}).
Substituindo x=3600, y=600, v_{0}=240 e g=9{,}8, calculamos
K = \frac{g\,x^{2}}{2\,v_{0}^{2}} = \frac{9{,}8\cdot3600^{2}}{2\cdot240^{2}} \approx1102{,}8.
Logo a equação fica
600 = 3600\,T - 1102{,}8\,(1+T^{2}) \quad\Longrightarrow\quad -1102{,}8\,T^{2} + 3600\,T - 1702{,}8 = 0.

Passo 4

Multiplicando por -1 e escrevendo em forma padrão a\,T^{2}+b\,T+c=0, temos
1102{,}8\,T^{2} - 3600\,T + 1702{,}8 = 0.
O discriminante é
\Delta = b^{2} - 4ac = 3600^{2} - 4\cdot1102{,}8\cdot1702{,}8 \approx5{,}452\times10^{6},
\sqrt{\Delta}\approx2335{,}8.
As duas raízes são
T_{1,2} = \frac{3600 \pm 2335{,}8}{2\cdot1102{,}8} \;\Longrightarrow\; T_{1}\approx2{,}69,\; T_{2}\approx0{,}57.

Passo 5

Como T=\tan\alpha, basta tomar arctan:
\alpha_{1} = \arctan(2{,}69)\approx69^\circ, \quad \alpha_{2} = \arctan(0{,}57)\approx31^\circ.

Resposta

\alpha\approx31^\circ ou \alpha\approx69^\circ.

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