Q26. Um ponto material move-se numa trajetória elíptica definida pelo vetor posição \vec{r}=(A \cos (p t)) \hat{\mathrm{i}}-(B \sin (p t)) \hat{\mathrm{j}}. Mostre que a aceleração (a) é voltada para a origem, (b) é proporcional à distância da origem ao ponto material. \mathbf{R}: \vec{a}=-p \vec{r}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição
\vec r(t)=A\cos(pt)\,\hat{\mathrm i}-B\sin(pt)\,\hat{\mathrm j}
e pede para mostrar que a aceleração \vec a(t)=\ddot{\vec r}(t) (a) aponta para a origem e (b) tem módulo proporcional à distância \lVert\vec r\rVert. Vamos usar regras de derivação de funções trigonométricas.

Passo 2

Calculamos a velocidade como primeira derivada de \vec r. Usando
\frac{d}{dt}\bigl[\cos(pt)\bigr]=-p\sin(pt), \qquad \frac{d}{dt}\bigl[\sin(pt)\bigr]=p\cos(pt),
temos
\vec v(t)=\dot{\vec r}(t) =-A\,p\sin(pt)\,\hat{\mathrm i}-B\,p\cos(pt)\,\hat{\mathrm j}.

Passo 3

Derivando de novo para obter a aceleração,
\frac{d}{dt}\bigl[-A\,p\sin(pt)\bigr]=-A\,p^2\cos(pt), \qquad \frac{d}{dt}\bigl[-B\,p\cos(pt)\bigr]=B\,p^2\sin(pt),
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\vec a(t)=\ddot{\vec r}(t) =-A\,p^2\cos(pt)\,\hat{\mathrm i}+B\,p^2\sin(pt)\,\hat{\mathrm j}.
Fatorando -p^2,
\vec a(t)=-p^2\bigl(A\cos(pt)\,\hat{\mathrm i}-B\sin(pt)\,\hat{\mathrm j}\bigr) =-p^2\,\vec r(t).

Passo 4

Da expressão \vec a=-p^2\vec r vemos que
  1. \vec a é paralelo a \vec r e tem sinal oposto, ou seja, aponta para a origem.
  2. \lVert\vec a\rVert=p^2\lVert\vec r\rVert, mostrando que o módulo de \vec a é proporcional à distância ao centro.

Resposta

\boxed{\vec a(t)=-p^2\,\vec r(t)},
portanto a aceleração aponta para a origem e tem módulo proporcional à distância.

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