Q26. Um ponto material move-se numa trajetória elíptica definida pelo vetor posição
. Mostre que a aceleração (a) é voltada para a origem, (b) é proporcional à distância da origem ao ponto material.
.
Passo 1
O enunciado dá o vetor posição
e pede para mostrar que a aceleração
(a) aponta para a origem e (b) tem módulo proporcional à distância
. Vamos usar regras de derivação de funções trigonométricas.
Passo 2
Calculamos a velocidade como primeira derivada de
. Usando
temos
Passo 3
Derivando de novo para obter a aceleração,
logo
Fatorando
,
Passo 4
Da expressão
vemos que
-
é paralelo a e tem sinal oposto, ou seja, aponta para a origem. -
, mostrando que o módulo de é proporcional à distância ao centro.
Resposta
portanto a aceleração aponta para a origem e tem módulo proporcional à distância.