Q27.14 Seria possível construir um acelerador no qual as forças sobre as partículas, destinadas a aumentar a velocidade e a produzir mudanças na direção da velocidade, fossem todas magnéticas? Por quê?

Passo 1

O enunciado pergunta se é possível construir um acelerador em que todas as forças sobre as partículas — tanto as que aumentam a velocidade quanto as que mudam a direção da velocidade — sejam exclusivamente magnéticas, e pede uma justificativa.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Temos partículas carregadas (por exemplo elétrons, prótons).
  • Pretende-se usar apenas forças magnéticas para (i) acelerar (aumentar a velocidade/energia cinética) e (ii) desviar/fletir (mudar direção da velocidade).

Passo 2

Apresentar a fórmula básica da força sobre uma carga em campos eletromagnéticos (Lei de Lorentz). Expliquei cada símbolo: \mathbf{F} é a força sobre a partícula, q é a carga, \mathbf{E} é o campo elétrico, \mathbf{B} é o campo magnético e \mathbf{v} é a velocidade da partícula. A equação é:
\mathbf{F}=q\bigl(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr).
Essa equação diz que a parte magnética da força é q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B} e depende da velocidade da partícula.

Passo 3

Ligar força ao trabalho e à variação da energia cinética. Pela definição de potência e teorema do trabalho-energia, a taxa de variação da energia cinética é o produto escalar da força pela velocidade:
\frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2} m v^{2}\right)=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v},
onde m é a massa e v=|\mathbf{v}| é a rapidez. Então, se \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=0 a energia cinética não muda; se \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}\neq0 há variação de energia cinética.

Passo 4

Calcular o produto escalar da força magnética com a velocidade e ver o que ocorre. A força magnética é \mathbf{F}_{B}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}. Fazendo o produto escalar com \mathbf{v},
\mathbf{F}_{B}\cdot\mathbf{v}=q(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}.
Uma propriedade vetorial importante: (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{a}=0 para quaisquer vetores \mathbf{a},\mathbf{b}. Aplicando-a,
(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}=0,
logo
\mathbf{F}_{B}\cdot\mathbf{v}=0.
Isso significa que a força magnética é sempre perpendicular à velocidade e, portanto, não realiza trabalho sobre a partícula — não muda a energia cinética.

Passo 5

Interpretação física e consequências práticas. Como \mathbf{F}_{B}\cdot\mathbf{v}=0, uma força puramente magnética só muda a direção da velocidade (faz curvar a trajetória) mas não altera a rapidez v nem a energia cinética \tfrac{1}{2}mv^{2}. Portanto:
  • Os ímãs (campos \mathbf{B}) são excelentes para desviar, dobrar e focalizar feixes (bóias, ímãs dipolo e quadrupolo em aceleradores), porque fazem forças perpendiculares à velocidade.
  • Contudo, para aumentar a velocidade/energia das partículas é necessário que haja uma componente de força com produto escalar não nulo com \mathbf{v} — isto é, é preciso um campo elétrico \mathbf{E} (ou outro mecanismo que faça trabalho sobre a partícula). Em aceleradores reais usa-se cavidades de rádio‑frequência que geram \mathbf{E} para acelerar.

Passo 6

Apontar exceções e esclarecer porque não contradizem a conclusão. Algumas situações aparentes que merecem comentário:
  • Campos magnéticos variando no tempo geram campos elétricos através da lei de Faraday,
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},
e esses campos elétricos induzidos podem realizar trabalho. Mas aí o trabalho é feito por \mathbf{E}, não por \mathbf{B} diretamente — ou seja, não se trata de “apenas forças magnéticas”.
  • Forças sobre momentos magnéticos (dipolos) têm a forma \nabla(\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}) e podem trocar energia entre graus internos e o movimento de centro de massa em casos especiais; porém isso não é o mecanismo usado em aceleradores de partículas para aumentar energia cinética de cargas puntuais, e para partículas elementares como elétrons a manipulação via momento magnético não é prática para aceleração.
  • Em relatividade, um campo que é puramente magnético em um referencial pode ter componente elétrica em outro referencial; mesmo assim, no referencial em que se quer acelerar as partículas, existe uma componente elétrica que faz o trabalho. Em resumo: sempre há uma componente elétrica (real ou induzida) responsável pela aceleração.

Passo 7

Resumo didático e motivação para prova (como responder rapidamente na hora da prova). Frases de “resposta curta” que funcionam em prova:
  • Escreva a Lei de Lorentz e o teorema do trabalho-energia.
  • Mostre que (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{v}=0 e conclua que uma força magnética não muda a energia cinética.
  • Conclua: ímãs servem para desviar/focalizar, mas não para acelerar; é necessário um campo elétrico (ou um campo variando no tempo que gere \mathbf{E}) para aumentar a velocidade.

Resposta

Não, não é possível: a força magnética sobre uma carga é \mathbf{F}_{B}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B} e satisfaz \mathbf{F}_{B}\cdot\mathbf{v}=0, portanto não realiza trabalho nem aumenta a energia cinética; é preciso um campo elétrico (ou um campo variável que gere \mathbf{E}) para acelerar partículas.

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