Q27.14 Seria possível construir um acelerador no qual as forças sobre as partículas, destinadas a aumentar a velocidade e a produzir mudanças na direção da velocidade, fossem todas magnéticas? Por quê?
Passo 1
O enunciado pergunta se é possível construir um acelerador em que todas as forças sobre as partículas — tanto as que aumentam a velocidade quanto as que mudam a direção da velocidade — sejam exclusivamente magnéticas, e pede uma justificativa.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- Temos partículas carregadas (por exemplo elétrons, prótons).
- Pretende-se usar apenas forças magnéticas para (i) acelerar (aumentar a velocidade/energia cinética) e (ii) desviar/fletir (mudar direção da velocidade).
Passo 2
Apresentar a fórmula básica da força sobre uma carga em campos eletromagnéticos (Lei de Lorentz). Expliquei cada símbolo:
é a força sobre a partícula,
é a carga,
é o campo elétrico,
é o campo magnético e
é a velocidade da partícula. A equação é:
Essa equação diz que a parte magnética da força é
e depende da velocidade da partícula.
Passo 3
Ligar força ao trabalho e à variação da energia cinética. Pela definição de potência e teorema do trabalho-energia, a taxa de variação da energia cinética é o produto escalar da força pela velocidade:
onde
é a massa e
é a rapidez. Então, se
a energia cinética não muda; se
há variação de energia cinética.
Passo 4
Calcular o produto escalar da força magnética com a velocidade e ver o que ocorre. A força magnética é
. Fazendo o produto escalar com
,
Uma propriedade vetorial importante:
para quaisquer vetores
. Aplicando-a,
logo
Isso significa que a força magnética é sempre perpendicular à velocidade e, portanto, não realiza trabalho sobre a partícula — não muda a energia cinética.
Passo 5
Interpretação física e consequências práticas. Como
, uma força puramente magnética só muda a direção da velocidade (faz curvar a trajetória) mas não altera a rapidez
nem a energia cinética
. Portanto:
- Os ímãs (campos
) são excelentes para desviar, dobrar e focalizar feixes (bóias, ímãs dipolo e quadrupolo em aceleradores), porque fazem forças perpendiculares à velocidade. - Contudo, para aumentar a velocidade/energia das partículas é necessário que haja uma componente de força com produto escalar não nulo com
— isto é, é preciso um campo elétrico (ou outro mecanismo que faça trabalho sobre a partícula). Em aceleradores reais usa-se cavidades de rádio‑frequência que geram para acelerar.
Passo 6
Apontar exceções e esclarecer porque não contradizem a conclusão. Algumas situações aparentes que merecem comentário:
- Campos magnéticos variando no tempo geram campos elétricos através da lei de Faraday,
e esses campos elétricos induzidos podem realizar trabalho. Mas aí o trabalho é feito por
, não por
diretamente — ou seja, não se trata de “apenas forças magnéticas”.
- Forças sobre momentos magnéticos (dipolos) têm a forma
e podem trocar energia entre graus internos e o movimento de centro de massa em casos especiais; porém isso não é o mecanismo usado em aceleradores de partículas para aumentar energia cinética de cargas puntuais, e para partículas elementares como elétrons a manipulação via momento magnético não é prática para aceleração. - Em relatividade, um campo que é puramente magnético em um referencial pode ter componente elétrica em outro referencial; mesmo assim, no referencial em que se quer acelerar as partículas, existe uma componente elétrica que faz o trabalho. Em resumo: sempre há uma componente elétrica (real ou induzida) responsável pela aceleração.
Passo 7
Resumo didático e motivação para prova (como responder rapidamente na hora da prova). Frases de “resposta curta” que funcionam em prova:
- Escreva a Lei de Lorentz e o teorema do trabalho-energia.
- Mostre que
e conclua que uma força magnética não muda a energia cinética. - Conclua: ímãs servem para desviar/focalizar, mas não para acelerar; é necessário um campo elétrico (ou um campo variando no tempo que gere
) para aumentar a velocidade.
Resposta
Não, não é possível: a força magnética sobre uma carga é
e satisfaz
, portanto não realiza trabalho nem aumenta a energia cinética; é preciso um campo elétrico (ou um campo variável que gere
) para acelerar partículas.