Um sistema composto por uma massa e uma mola, oscilam em um movimento harmônico amortecido cuja equação que descreve o movimento é dada por \mathrm{x}(\mathrm{t})=12 \cdot \mathrm{e}^{-\gamma \mathrm{t}} \cdot \cos (3,6 \cdot \mathrm{t})(\mathrm{cm}). Sabe-se que após 2 períodos a amplitude do sistema é reduzida à metade da amplitude inicial. Neste sistema, o parâmetro de amortecimento \gamma vale: R: 0,20 \mathrm{~s}^{-1}

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar claramente):
  • A função posição é \mathrm{x}(\mathrm{t})=12\cdot \mathrm{e}^{-\gamma \mathrm{t}}\cdot \cos\!\left(3{,}6\cdot \mathrm{t}\right) em centímetros.
  • Sabe-se que, após 2 períodos, a amplitude é reduzida à metade da amplitude inicial.
  • A pergunta: determinar o valor do parâmetro de amortecimento \gamma (em \mathrm{s}^{-1}).

Passo 2

Entender o que é “amplitude” aqui e qual é a expressão da amplitude variando no tempo.
  • A amplitude instantânea (envelope) do movimento é o fator que multiplica o cosseno, isto é \;A(t)=12\cdot \mathrm{e}^{-\gamma t}\;.
    Explicação rápida: a função \cos varia entre -1 e 1, então o máximo absoluto da posição em dado tempo t é justamente |A(t)|. O amortecimento faz \,A(t)\, decrescer exponencialmente com taxa \gamma.

Passo 3

Calcular o período do movimento a partir da frequência angular presente no cosseno.
  • A frequência angular é \omega=3{,}6\\ \mathrm{rad\cdot s^{-1}} (peguei esse valor do argumento do cosseno).
  • A relação entre período T e \omega é \;T=\dfrac{2\pi}{\omega}\;.
    Portanto
T=\dfrac{2\pi}{3{,}6}.

Passo 4

Aplicar a condição dada: após 2 períodos a amplitude é metade da inicial. Escrever isso matematicamente.
  • Amplitude inicial: A(0)=12.
  • Amplitude após 2 períodos (tempo t=2T): A(2T)=12\cdot \mathrm{e}^{-\gamma(2T)}.
    A condição do enunciado é
A(2T)=\frac{12}{2}=6,
logo
12\cdot \mathrm{e}^{-\gamma(2T)}=6.

Passo 5

Resolver a equação para \gamma. Simplificando a equação do passo anterior:
\mathrm{e}^{-\gamma(2T)}=\frac{1}{2}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
-\gamma(2T)=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2.
Isolando \gamma:
\gamma=\frac{\ln 2}{2T}.

Passo 6

Substituir T=\dfrac{2\pi}{3{,}6} na expressão de \gamma e calcular numericamente. Primeiro escrever 2T:
2T=2\cdot\frac{2\pi}{3{,}6}=\frac{4\pi}{3{,}6}.
Então
\gamma=\frac{\ln 2}{2T}=\frac{\ln 2}{\dfrac{4\pi}{3{,}6}}=\frac{3{,}6\,\ln 2}{4\pi}.

Passo 7

Fazer a avaliação numérica passo a passo (usando aproximações usuais: \ln 2\approx0{,}693147 e \pi\approx3{,}141593). Calcular T e 2T numa forma numérica útil:
T=\frac{2\pi}{3{,}6}\approx\frac{6{,}283185}{3{,}6}\approx1{,}7453\\ \mathrm{s},
2T\approx3{,}4907\\ \mathrm{s}.
Agora
\gamma=\frac{\ln 2}{2T}\approx\frac{0{,}693147}{3{,}4907}\approx0{,}1986\\ \mathrm{s}^{-1}.
Arredondando de forma adequada (duas casas decimais, como na resposta proposta),
\gamma\approx0{,}20\\ \mathrm{s}^{-1}.

Resposta

\gamma=0{,}20\\ \mathrm{s}^{-1}

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