Um sistema composto por uma massa e uma mola, oscilam em um movimento harmônico amortecido cuja equação que descreve o movimento é dada por
. Sabe-se que após 2 períodos a amplitude do sistema é reduzida à metade da amplitude inicial. Neste sistema, o parâmetro de amortecimento
vale: R:
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar claramente):
- A função posição é
em centímetros. - Sabe-se que, após
períodos, a amplitude é reduzida à metade da amplitude inicial. - A pergunta: determinar o valor do parâmetro de amortecimento
(em ).
Passo 2
Entender o que é “amplitude” aqui e qual é a expressão da amplitude variando no tempo.
- A amplitude instantânea (envelope) do movimento é o fator que multiplica o cosseno, isto é
Explicação rápida: a funçãovaria entre e , então o máximo absoluto da posição em dado tempo é justamente . O amortecimento faz decrescer exponencialmente com taxa .
Passo 3
Calcular o período do movimento a partir da frequência angular presente no cosseno.
- A frequência angular é
(peguei esse valor do argumento do cosseno). - A relação entre período
e é
Portanto
Passo 4
Aplicar a condição dada: após
períodos a amplitude é metade da inicial. Escrever isso matematicamente.
- Amplitude inicial:
. - Amplitude após
períodos (tempo ): .
A condição do enunciado é
logo
Passo 5
Resolver a equação para
. Simplificando a equação do passo anterior:
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Isolando
:
Passo 6
Substituir
na expressão de
e calcular numericamente. Primeiro escrever
:
Então
Passo 7
Fazer a avaliação numérica passo a passo (usando aproximações usuais:
e
). Calcular
e
numa forma numérica útil:
Agora
Arredondando de forma adequada (duas casas decimais, como na resposta proposta),