Q29. Os instrumentos de um avião indicam que em relação ao ar o avião se move para leste com velocidade de 560 \mathrm{km} / \mathrm{h}. Ao mesmo tempo um radar em terra indica que o avião se move com velocidade de 520 \mathrm{~km} / \mathrm{h} na direção que faz 8^{\circ} com o leste e aponta para o norte. Determine o módulo e a direção do vento. R: 85,3 \mathrm{~km} / \mathrm{h} a 32^{\circ} da linha Norte-Sul para noroeste.

Passo 1

O enunciado nos dá que a velocidade do avião em relação ao ar é \vec V_{a} com módulo 560\\ \text{km/h} para o leste, e que o radar em terra mede a velocidade em relação ao solo \vec V_{g} com módulo 520\\ \text{km/h} fazendo 8^\circ acima do leste (em direção ao norte). O vento \vec W satisfaz
\vec V_{g}=\vec V_{a}+\vec W,
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\vec W=\vec V_{g}-\vec V_{a}.

Passo 2

Escolhemos eixos cartesian­os com x para leste positivo e y para norte positivo. Em componentes (em km/h):
\vec V_{a}=(560,\;0).

Passo 3

A velocidade em relação ao solo forma ângulo de 8^\circ acima do leste, logo
\vec V_{g}=\bigl(520\cos8^\circ,\;520\sin8^\circ\bigr).

Passo 4

Calculamos então as componentes do vento:
W_x=520\cos8^\circ-560, \qquad W_y=520\sin8^\circ.

Passo 5

Fazendo as contas numéricas:
W_x=520\cos8^\circ-560\approx -45{,}04, \qquad W_y=520\sin8^\circ\approx 72{,}38.

Passo 6

O módulo de \vec W vem de
|\vec W|=\sqrt{W_x^2+W_y^2} \approx\sqrt{(-45{,}04)^2+(72{,}38)^2} \approx85{,}3\\ \text{km/h}.

Passo 7

Como W_x<0 (oeste) e W_y>0 (norte), o vento aponta para noroeste. O ângulo \theta medido a partir do norte em direção ao oeste satisfaz
\tan\theta=\frac{|W_x|}{W_y}=\frac{45{,}04}{72{,}38},
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\theta=\arctan\Bigl(\frac{45{,}04}{72{,}38}\Bigr)\approx32^\circ.

Resposta

O vento tem módulo 85{,}3\\ \text{km/h} e direção 32^\circ da linha norte-sul para noroeste.

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