Q34. Qual é a aceleração de um objeto devido à rotação da Terra: (a) no equador e (b) na latitude 60^{\circ}. (c) Por qual fator deveria ser multiplicada a velocidade de rotação da Terra para que um corpo no equador necessitasse de uma aceleração igual a g para permanecer sobre ela? \mathbf{R} : 3,4 \times 10^{-2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; 1,7 \times 10^{-2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; 17.

Passo 1

O enunciado pede a aceleração centrípeta que a rotação da Terra imprime a um objeto, isto é
a = \omega^2 r
(a) no equador em que r=R, (b) na latitude \varphi=60^\circ em que r=R\cos\varphi, e (c) descobrir o fator k tal que, se a velocidade angular da Terra fosse k\omega, tivéssemos (k\omega)^2R=g. Vamos usar o raio médio da Terra R=6,37\times10^6\,\mathrm{m} e o período de rotação T=86400\,\mathrm{s}.

Passo 2

Calculamos a velocidade angular da Terra por
\omega = \frac{2\pi}{T}
com T=86400\,\mathrm{s}, daí
\omega \approx 7,27\times10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}.

Passo 3

No equador r=R a aceleração é
a_{\rm eq} = \omega^2R.
Numericamente,
\omega^2 \approx (7,27\times10^{-5})^2 \approx 5,29\times10^{-9}\,\mathrm{s}^{-2},
a_{\rm eq} \approx 5,29\times10^{-9}\times6,37\times10^6 \approx 3,37\times10^{-2}\,\mathrm{m/s^2}\approx3,4\times10^{-2}\,\mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Na latitude 60^\circ o raio efetivo é
r = R\cos60^\circ = \tfrac12\,R,
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a_{60} = \omega^2(R\cos60^\circ) = a_{\rm eq}\cos60^\circ \approx 3,37\times10^{-2}\times0,5 \approx 1,69\times10^{-2}\,\mathrm{m/s^2}\approx1,7\times10^{-2}\,\mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Para que um corpo no equador necessite de aceleração igual a g teríamos
(k\omega)^2R = g \;\Longrightarrow\; k = \sqrt{\frac{g}{\omega^2R}}.
Substituindo g\approx9,8\,\mathrm{m/s^2} e \omega^2R\approx3,37\times10^{-2},
k \approx \sqrt{\frac{9,8}{3,37\times10^{-2}}} \approx \sqrt{290} \approx17.

Resposta

(a) 3,4\times10^{-2}\,\mathrm{m/s^2}
(b) 1,7\times10^{-2}\,\mathrm{m/s^2}
(c) 17

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